《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

21. (本小题8分)如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC = 90°,∠DAE = 90°,B,C,D在同一条直线上. 求证:BD = CE.

答案： 证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE,AB=AC.又
∵∠EAC=90°+∠CAD,
∠DAB=90°+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC.
AB=AC
∵在△ADB和△AEC中{∠BAD=∠CAE,
AD=AE
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.

22. (本小题12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠B = 30°,DE是AB的垂直平分线,交AB、BC于点D、E,连接CD、AE. 求证:
(1)△ADC是等边三角形;
(2)点E在线段CD的垂直平分线上.

答案： 证明:
(1)在Rtt△ABC中,∠ACB=90°,
∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=$\frac{1}{2}$　
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$　
∴AD=AC,
∴△ADC是等边三角形;
(2)
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE,DE⊥AB,
∴∠EAB=∠B=30°,
则∠EAC=∠BAC−∠EAB=30°,
∴∠BAE=∠CAE,
∴AE平分∠BAC,
∵DE⊥AB,AC⊥BC,
∴DE=DC,
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC,
∴点E在线段CD的垂直平分线上.

23. (本小题12分)如图,在△ABC中,∠A = 90°,∠B = 30°,AC = 6 cm,点D从点A开始以1 cm/s的速度向点C运动,点E从点C开始以2 cm/s的速度向点B运动,两点同时运动,同时停止,运动的时间为t s,过点E作EF//AC交AB于点F.
(1)当t为何值时,△DEC为等边三角形?
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形?
(3)求证:DC = EF.

答案： 解:由题意得AD=tcm,CE=2tcm.
(1)若△DEC为等边三角形,则EC=DC,
∴2t=6−t,解得t=2,
∴当t为2时,△DEC为等边三角形.
(2)若△DEC为直角三角形,当∠CED=90°时，
∵∠B=30°,
∴∠ACB=60°,
∴∠CDE=30°,
∴CE=$\frac{1}{2}$DC,
∴2t=$\frac{1}{2}$(6−t),解得t=1.2;
当∠CDE=90°时,同理可得∠CED=30°,
∴$\frac{1}{2}$CE=DC,
∴$\frac{1}{2}$×2t=6−t,
∴t=3,
∴当t为1.2或3时,△DEC为直角三角形.
(3)证明:
∵∠A=90°,∠B=30°,AC=6cm,
∴BC=12cm,
∴DC=(6−t)cm,BE=(12−2t)cm.
∵EF//AC,
∴∠BFE=∠A=90°.
∵∠B=30°,
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$(12−2t)=(6−t)cm,
∴DC=EF.