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21. (本小题10分)已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF = CE，DF = BE，DF//BE. 求证：
(1) △AFD≌△CEB；
(2) 四边形ABCD是平行四边形.
(1) △AFD≌△CEB；
(2) 四边形ABCD是平行四边形.
答案：
证明：
(1)$\because DF// BE$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$.
$\because AF = CE$，$DF = BE$，$\therefore \triangle AFD\cong\triangle CEB(SAS)$.
(2)$\because \triangle AFD\cong\triangle CEB$，$\therefore \angle 3 = \angle 4$，$AD = BC$，
$\therefore AD// BC$. $\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
(1)$\because DF// BE$，$\therefore \angle 1 = \angle 2$.
$\because AF = CE$，$DF = BE$，$\therefore \triangle AFD\cong\triangle CEB(SAS)$.
(2)$\because \triangle AFD\cong\triangle CEB$，$\therefore \angle 3 = \angle 4$，$AD = BC$，
$\therefore AD// BC$. $\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
22. (本小题10分)已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G.
(1) 求证：AE⊥DF；
(2) 若AD = 10，AB = 6，AE = 4，求DF的长.
(1) 求证：AE⊥DF；
(2) 若AD = 10，AB = 6，AE = 4，求DF的长.
答案：
(1)证明：在$\square ABCD$中$AB// CD$，
$\therefore \angle ADC+\angle DAB = 180^{\circ}$.
$\because DF$、$AE$分别是$\angle ADC$、$\angle DAB$的平分线，
$\therefore \angle ADF = \angle CDF=\frac{1}{2}\angle ADC$，
$\angle DAE = \angle BAE=\frac{1}{2}\angle DAB$，
$\therefore \angle ADF+\angle DAE=\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle DAB)=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGD = 90^{\circ}$，$\therefore AE\perp DF$.
(2)解：过点$D$作$DH// AE$，交$BC$的延长线于点$H$，
则四边形$AEHD$是平行四边形，且$FD\perp DH$.
$\therefore DH = AE = 4$，$EH = AD = 10$. 在$\square ABCD$中$AD// BC$，
$\therefore \angle ADF = \angle CFD$，$\angle DAE = \angle BEA$.
$\therefore \angle CDF = \angle CFD$，$\angle BAE = \angle BEA$.
$\therefore DC = FC$，$AB = EB$. 在$\square ABCD$中，$AD = BC = 10$，$AB = DC = 6$，$\therefore CF = BE = 6$，
$BF = BC - CF = 10 - 6 = 4$.
$\therefore FE = BE - BF = 6 - 4 = 2$，
$\therefore FH = FE + EH = 12$，
在$Rt\triangle FDH$中，
$DF = \sqrt{FH^{2}-DH^{2}}=\sqrt{12^{2}-4^{2}} = 8\sqrt{2}$.
(1)证明：在$\square ABCD$中$AB// CD$，
$\therefore \angle ADC+\angle DAB = 180^{\circ}$.
$\because DF$、$AE$分别是$\angle ADC$、$\angle DAB$的平分线，
$\therefore \angle ADF = \angle CDF=\frac{1}{2}\angle ADC$，
$\angle DAE = \angle BAE=\frac{1}{2}\angle DAB$，
$\therefore \angle ADF+\angle DAE=\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle DAB)=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AGD = 90^{\circ}$，$\therefore AE\perp DF$.
(2)解：过点$D$作$DH// AE$，交$BC$的延长线于点$H$，
则四边形$AEHD$是平行四边形，且$FD\perp DH$.
$\therefore DH = AE = 4$，$EH = AD = 10$. 在$\square ABCD$中$AD// BC$，
$\therefore \angle ADF = \angle CFD$，$\angle DAE = \angle BEA$.
$\therefore \angle CDF = \angle CFD$，$\angle BAE = \angle BEA$.
$\therefore DC = FC$，$AB = EB$. 在$\square ABCD$中，$AD = BC = 10$，$AB = DC = 6$，$\therefore CF = BE = 6$，
$BF = BC - CF = 10 - 6 = 4$.
$\therefore FE = BE - BF = 6 - 4 = 2$，
$\therefore FH = FE + EH = 12$，
在$Rt\triangle FDH$中，
$DF = \sqrt{FH^{2}-DH^{2}}=\sqrt{12^{2}-4^{2}} = 8\sqrt{2}$.
23. (本小题12分)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形. 例如：某三角形三边长分别是√3，2和3，因为(√3)² + 3² = 12 = 3×2²，所以这个三角形是非凡三角形.
(1) 若△ABC是非凡三角形，且AB = 3，BC = 6，则AC = _______；
(2) 如图，在□ABCD中，AC⊥BD于点O，AB = 6，且△ABD是非凡三角形，求AC的值.
(1) 若△ABC是非凡三角形，且AB = 3，BC = 6，则AC = _______；
(2) 如图，在□ABCD中，AC⊥BD于点O，AB = 6，且△ABD是非凡三角形，求AC的值.
答案：
解：
(1)$\sqrt{15}$；
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BO = DO=\frac{1}{2}BD$，又$\because AC\perp BD$，
$\therefore AC$垂直平分$BD$，$\therefore AD = AB = 6$，
$\because \triangle ABD$是非凡三角形，
①当$AB^{2}+AD^{2}=3BD^{2}$时，
则$BD^{2}=\frac{1}{3}(AB^{2}+AD^{2}) = 24$，$\therefore BD = 2\sqrt{6}$，
$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{6}$，
在$Rt\triangle AOB$中，$AO = \sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{30}$，
$\therefore AC = 2AO = 2\sqrt{30}$；
②当$AB^{2}+BD^{2}=3AD^{2}$时，
则$BD^{2}=3AD^{2}-AB^{2}=2AD^{2}=72$，
$\therefore BD = 6\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle AOB$中，$AO = \sqrt{AB^{2}-BO^{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\therefore AC = 2AO = 6\sqrt{2}$；
③当$AD^{2}+BD^{2}=3AB^{2}$时，与②情况相同；
综上所述，$AC$的值为$2\sqrt{30}$或$6\sqrt{2}$.
(1)$\sqrt{15}$；
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BO = DO=\frac{1}{2}BD$，又$\because AC\perp BD$，
$\therefore AC$垂直平分$BD$，$\therefore AD = AB = 6$，
$\because \triangle ABD$是非凡三角形，
①当$AB^{2}+AD^{2}=3BD^{2}$时，
则$BD^{2}=\frac{1}{3}(AB^{2}+AD^{2}) = 24$，$\therefore BD = 2\sqrt{6}$，
$\therefore BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{6}$，
在$Rt\triangle AOB$中，$AO = \sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{30}$，
$\therefore AC = 2AO = 2\sqrt{30}$；
②当$AB^{2}+BD^{2}=3AD^{2}$时，
则$BD^{2}=3AD^{2}-AB^{2}=2AD^{2}=72$，
$\therefore BD = 6\sqrt{2}$，$\therefore BO=\frac{1}{2}BD = 3\sqrt{2}$，
在$Rt\triangle AOB$中，$AO = \sqrt{AB^{2}-BO^{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\therefore AC = 2AO = 6\sqrt{2}$；
③当$AD^{2}+BD^{2}=3AB^{2}$时，与②情况相同；
综上所述，$AC$的值为$2\sqrt{30}$或$6\sqrt{2}$.
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