《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

18. (本小题8分)若关于$x$的方程$3(x + 4)=2a + 5$的解大于关于$x$的方程$\frac{(4a + 1)x}{4}=\frac{a(3x - 4)}{3}$的解，求$a$的取值范围.

答案： 解：
∵关于 $x$的方程 $3(x + 4)=2a + 5$的解为 $x=\frac{2a - 7}{3}$，关于 $x$的方程$\frac{(4a + 1)x}{4}=\frac{a(3x - 4)}{3}$的解为 $x=-\frac{16}{3}a$。由题意，得$\frac{2a - 7}{3}＞-\frac{16}{3}a$。解得 $a＞\frac{7}{18}$。

19. (本小题10分)定义新运算：对于任意数$a$，$b$，都有$a\#b = a(a + b)-2$，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算. 比如：$2\#5 = 2\times(2 + 5)-2 = 2\times7 - 2 = 14 - 2 = 12$.
(1)求$(-2)\#5$的值；
(2)若$4\#x$的值小于16而大于10，求$x$的取值范围.

答案： 解：
(1)$( - 2)\#5=( - 2)\times( - 2 + 5)-2=-8$；
(2)由题意得$\begin{cases}4(4 + x)-2＞10①\\4(4 + x)-2＜16②\end{cases}$，
解不等式①得 $x＞-1$；解不等式②得 $x＜\frac{1}{2}$；
∴ $-1＜x＜\frac{1}{2}$，
∴ $x$的取值范围为 $-1＜x＜\frac{1}{2}$。

20. (本小题10分)某制衣厂现有24名服装工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条.
(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子的数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？
(2)已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元. 若该厂要求每天获得的利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

答案： 解：
(1)设应安排 $x$名工人制作衬衫。根据题意，得 $3x = 5(24 - x)$，解得 $x = 15$。
∴ $24 - x = 24 - 15 = 9$。答：应安排 15 名工人制作衬衫，9 名工人制作裤子。
(2)设应安排 $y$名工人制作衬衫。
根据题意，得 $3\times30y + 5\times16(24 - y)\geqslant2100$，
解得 $y\geqslant18$。答：至少应安排 18 名工人制作衬衫。

21. (本小题10分)某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费.
(1)分别写出甲、乙两厂的收费$y_{甲}$(元)、$y_{乙}$(元)与印制数量$x$(本)之间的关系式；
(2)该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由.

答案： 解：
(1)$y_{甲}=x + 500$，$y_{乙}=2x$；
(2)当 $y_{甲}＞y_{乙}$时，即 $x + 500＞2x$，则 $x＜500$，当 $y_{甲}=y_{乙}$时，即 $x + 500 = 2x$，则 $x = 500$，当 $y_{甲}＜y_{乙}$时，即 $x + 500＜2x$，则 $x＞500$，
∴该学校印制《学生手册》数量小于 500 本时应选择乙厂合算，当印制《学生手册》数量大于 500 本时应选择甲厂合算，当印制《学生手册》数量等于 500 本时选择两厂费用都一样。