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22. (本小题10分)如图①所示是一个长为$2m$,宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含$m,n$的代数式表示).
方法一:______________________________;
方法二:______________________________.
(2)根据(1)的结论,请你写出代数式$(m + n)^{2},(m - n)^{2},mn$之间的等量关系;
(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
已知实数$a,b$满足:$a + b=6,ab = 5$,求$a - b$的值.
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积(直接用含$m,n$的代数式表示).
方法一:______________________________;
方法二:______________________________.
(2)根据(1)的结论,请你写出代数式$(m + n)^{2},(m - n)^{2},mn$之间的等量关系;
(3)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
已知实数$a,b$满足:$a + b=6,ab = 5$,求$a - b$的值.
答案：
解：
(1) 方法一：$(m + n)^{2}-4mn$；
方法二：$(m - n)^{2}$
(2) $(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$
(3) 由
(2)可知$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab = 6^{2}-4\times5 = 16$
$\therefore a - b = 4$或$a - b = -4$
(1) 方法一：$(m + n)^{2}-4mn$；
方法二：$(m - n)^{2}$
(2) $(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$
(3) 由
(2)可知$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab = 6^{2}-4\times5 = 16$
$\therefore a - b = 4$或$a - b = -4$
23. (本小题12分)先阅读下面的内容,再解决问题：
对于形如$x^{2}+2xa + a^{2}$这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式. 但对于二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$,无法直接用公式法. 于是可以在二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$,使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式,再减去$a^{2}$,整个式子的值不变,于是有:
$x^{2}+2xa - 3a^{2}=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}=(x + a)^{2}-4a^{2}=(x + a)^{2}-(2a)^{2}$
$=(x + 3a)(x - a)$
像这样的方法称为“配方法”,利用“配方法”,解决下列问题：
(1)分解因式:$m^{2}-10m + 16$;
(2)若$x^{2}+y^{2}-8x - 14y + 65=0$
①当$x,y,n$满足条件:$2^{x}\times4^{y}=8^{n}$时,求$n$的值;
②若$\triangle ABC$三边长是$x,y,z$,且$z$为偶数,求$\triangle ABC$的周长.
对于形如$x^{2}+2xa + a^{2}$这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式. 但对于二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$,无法直接用公式法. 于是可以在二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$,使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式,再减去$a^{2}$,整个式子的值不变,于是有:
$x^{2}+2xa - 3a^{2}=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}=(x + a)^{2}-4a^{2}=(x + a)^{2}-(2a)^{2}$
$=(x + 3a)(x - a)$
像这样的方法称为“配方法”,利用“配方法”,解决下列问题：
(1)分解因式:$m^{2}-10m + 16$;
(2)若$x^{2}+y^{2}-8x - 14y + 65=0$
①当$x,y,n$满足条件:$2^{x}\times4^{y}=8^{n}$时,求$n$的值;
②若$\triangle ABC$三边长是$x,y,z$,且$z$为偶数,求$\triangle ABC$的周长.
答案：
解：
(1) 原式$=m^{2} - 10m + 25 - 9$
$=(m - 5)^{2}-9$
$=(m - 5 + 3)(m - 5 - 3)$
$=(m - 2)(m - 8)$
(2) 由题意得
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 14y + 49 = 0$
$\therefore (x - 4)^{2}+(y - 7)^{2} = 0$，
$\therefore\begin{cases}x - 4 = 0\\y - 7 = 0\end{cases}$，解得：$\begin{cases}x = 4\\y = 7\end{cases}$
①$\because 2^{4}\times4^{7} = 8^{n}$，$\therefore 2^{4}\times2^{14} = 2^{3n}$，
$\therefore 2^{18} = 2^{3n}$，$\therefore 3n = 18$，解得：$n = 6$；
②$\because y - x＜z＜x + y$，$\therefore 3＜z＜11$，
$\because z$为偶数，$\therefore z$取$4$、$6$、$8$、$10$
$\therefore C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 4 + 7 = 15$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 6 + 7 = 17$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 8 + 7 = 19$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 10 + 7 = 21$；
故$\triangle ABC$的周长为$15$或$17$或$19$或$21$
(1) 原式$=m^{2} - 10m + 25 - 9$
$=(m - 5)^{2}-9$
$=(m - 5 + 3)(m - 5 - 3)$
$=(m - 2)(m - 8)$
(2) 由题意得
$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 14y + 49 = 0$
$\therefore (x - 4)^{2}+(y - 7)^{2} = 0$，
$\therefore\begin{cases}x - 4 = 0\\y - 7 = 0\end{cases}$，解得：$\begin{cases}x = 4\\y = 7\end{cases}$
①$\because 2^{4}\times4^{7} = 8^{n}$，$\therefore 2^{4}\times2^{14} = 2^{3n}$，
$\therefore 2^{18} = 2^{3n}$，$\therefore 3n = 18$，解得：$n = 6$；
②$\because y - x＜z＜x + y$，$\therefore 3＜z＜11$，
$\because z$为偶数，$\therefore z$取$4$、$6$、$8$、$10$
$\therefore C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 4 + 7 = 15$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 6 + 7 = 17$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 8 + 7 = 19$；
或$C_{\triangle ABC}=x + y + z = 4 + 10 + 7 = 21$；
故$\triangle ABC$的周长为$15$或$17$或$19$或$21$
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