《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

17. (本小题8分)解下列分式方程：
(1) $1 - \frac{1}{x - 5} = \frac{x}{x + 5}$；　　　　　　　　　(2) $\frac{3}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{1}{x^{2} - 1}$.

答案： 解：
(1)去分母得：$x^2 - 25 - x - 5 = x^2 - 5x$，
解得：$x=\frac{15}{2}$，经检验，$x=\frac{15}{2}$是分式方程的解。
(2)去分母得：$3x + 3 - 2x + 2 = 1$，解得：$x = - 4$，经检验，$x = - 4$是分式方程的解。

18. (本小题7分)先化简,再求值：$\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - ab} \div (a + \frac{2ab + b^{2}}{a})$，其中$a = 2$，$b = -1$.

答案： 解：原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a(a - b)}\div\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a}=\frac{a + b}{a}\cdot\frac{a}{(a + b)^2}=\frac{1}{a + b}$，当$a = 2$，$b = - 1$时，原式 = 1。

19. (本小题8分)已知关于$x$的方程$\frac{2}{x - 1} - \frac{mx}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}$，若该方程无解，试求$m$的值.

答案： 解：$\frac{2}{x - 1}-\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$
方程两边同时乘以$(x + 2)(x - 1)$，
去分母并整理得：$(m - 1)x = 5$，$\because$原分式方程无解，
$\therefore m - 1 = 0$或$(x + 2)(x - 1) = 0$，当$m - 1 = 0$时，解得$m = 1$；当$(x + 2)(x - 1) = 0$时，解得：$x = - 2$或$x = 1$，当$x = - 2$时，得$m =-\frac{3}{2}$；当$x = 1$时，得$m = 6$，$\therefore m$的值可能为1或$-\frac{3}{2}$或6。

20. (本小题8分) $A$、$B$两地相距200 km，甲车从$A$地出发匀速开往$B$地，乙车同时从$B$地出发匀速开往$A$地，两车相遇时距$A$地80 km. 已知乙车每小时比甲车多行驶30 km，求甲、乙两车的速度.

答案： 解：设甲车的速度是$x$ km/h，乙车的速度为$(x + 30)$km/h，$\frac{80}{x}=\frac{200 - 80}{x + 30}$，解得，$x = 60$，经检验，$x = 60$是原方程的解. 则$x + 30 = 90$，答：甲车的速度是60 km/h，乙车的速度是90 km/h。

21. (本小题12分)某商店经销一种纪念品，9月份的销售额为2000元，为扩大销售，10月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元.
(1) 求这种纪念品9月份的销售价格；
(2) 若9月份销售这种纪念品获利800元，问10月份销售这种纪念品获利多少元.

答案： 解：
(1)设这种纪念品9月份的销售单价为$x$元，则10月份的销售单价为$0.9x$元，由题意得：$\frac{2000}{x}+20=\frac{2700}{0.9x}$，解得：$x = 50$，经检验：$x = 50$是原方程的解. 答：9月份的销售单价为50元；
(2)$\because$9月份的销售量为$2000\div50 = 40$（件），成本价为$(2000 - 800)\div40 = 30$（元/件），
$\therefore$10月份获利为：$(40 + 20)\times(45 - 30)=900$（元）. 第10月份获利900元。