《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

22. (本小题10分)有足够多的长方形和正方形的卡片,如图1:
　　　　　
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张(如图2),可拼成一个长方形(不重叠无缝隙).请画出这个长方形的草图,并运用拼图前后面积之间的关系将多项式$a^{2}+3ab + 2b^{2}$分解因式;
(2)小明想用类似的方法将多项式$2a^{2}+7ab + 3b^{2}$分解因式,那么需要1号卡片________张,2号卡片________张,3号卡片________张.试画出草图,写出将多项式$2a^{2}+7ab + 3b^{2}$分解因式的结果.

答案：
解：
(1)
$a^{2}+3ab + 2b^{2}=(a + b)(a + 2b)$.
(2)2, 3, 7.
$2a^{2}+7ab + 3b^{2}=(2a + b)(a + 3b)$.

23. (本小题12分)定义:任意两个数$a,b$,按规则$c=(a + 1)(b + 1)$运算得到一个新数$c$,称所得的新数$c$为$a,b$的“和积数”.
(1)若$a = 4,b = -2$,求$a,b$的“和积数”$c$;
(2)若$ab=\frac{1}{2},a^{2}+b^{2}=8$,求$a,b$的“和积数”$c$;
(3)已知$a = x + 1$,且$a,b$的“和积数”$c = x^{3}+4x^{2}+5x + 2$,求$b$(用含$x$的式子表示).

答案： 解：
(1)由题意得：$c=(4 + 1)(-2 + 1)=-5$,
$\therefore a$, $b$的“和积数”$c$为 -5;
(2)由题意得：
$c=(a + 1)(b + 1)=ab + a + b + 1$,
$\because ab=\frac{1}{2}$, $a^{2}+b^{2}=8$,
$\therefore (a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=8 + 1 = 9$,
$\therefore a + b = 3$或$a + b = -3$,
当$a + b = 3$时, $c=(a + 1)(b + 1)=ab + a + b + 1=\frac{1}{2}+3 + 1=\frac{9}{2}$, 当$a + b = -3$时, $c=(a + 1)(b + 1)=ab + a + b + 1=\frac{1}{2}-3 + 1=-\frac{3}{2}$,
综上所述, $c$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{3}{2}$;
(3)由题意得：$c=(a + 1)(b + 1)$,
$\because a = x + 1$, $\therefore c=(x + 2)(b + 1)$.
$\because c=x^{3}+4x^{2}+5x + 2$
$=x^{3}+2x^{2}+2x^{2}+5x + 2$
$=x^{2}(x + 2)+(2x + 1)(x + 2)$
$=(x + 2)(x^{2}+2x + 1)$,
$\therefore (x + 2)(b + 1)=(x + 2)(x^{2}+2x + 1)$,
$\therefore b + 1 = x^{2}+2x + 1$,
$\therefore b = x^{2}+2x$.