《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

22. (本小题12分)某工程承包方指定由甲、乙两个工程队完成某项工程，若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队另有其他任务不再做该工程，剩下的工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务.
(1) 求乙工程队单独完成该工程需要多少天？
(2) 如果工程承包方要求乙工程队的工作时间不能超过30天，要完成该工程，甲工程队至少要工作多少天？

答案： 解：
(1)设乙工程队单独完成该工程需要$x$天，由题意，得$(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})\times20+\frac{20}{x}=1$，解得$x = 80$，
经检验，$x = 80$是原方程的解.
答：乙工程队单独完成该工程需要80天.
(2)设甲工程队要工作$y$天，由题意，
得$(1-\frac{y}{40})\div\frac{1}{80}\leq30$，解得$y\geq25$.
答：如果工程承包方要求乙工程队的工作时间不能超过30天，要完成该工程，甲工程队至少要工作25天.

23. (本小题12分)在分式运算中，有时候逆用运算法则可以使问题得到简化，例如：由$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n(n + 1)}$，反过来可以得到$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$，从而把一个复杂的分式转化为两个分式的差，使计算更为简便，利用这种转化的思想解决下面问题：
(1) 计算：$\frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \frac{1}{4\times5} + \frac{1}{5\times6}$；
(2) 一个容器装有1 L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出$\frac{1}{2}$ L，第2次倒出的水量是$\frac{1}{2}$ L的$\frac{1}{3}$，第3次倒出的水量是$\frac{1}{3}$ L的$\frac{1}{4}$，第4次倒出的水量是$\frac{1}{4}$ L的$\frac{1}{5}$……第$n$次倒出的水量是$\frac{1}{n}$ L的$\frac{1}{n + 1}$……按照这种倒水的方法，这1 L水可以倒完吗？为什么？

答案： 解：
(1)$\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{3}$；
(2)这1 L水不能倒完；理由如下：
由题意可得：第$n$次倒出水量：$\frac{1}{n(n + 1)}$L，
$\therefore$前$n$次总共倒出水量为：
$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
$=1-\frac{1}{n + 1}$
$=\frac{n}{n + 1}$，
$\because\frac{n}{n + 1}＜1$，
$\therefore$这1 L水不能倒完.