《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

22. (本小题12分)一项工程,甲、乙两公司合做,12天可以完成,共需付工费102000元;如果甲、乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间为甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.
(1) 甲、乙公司单独完成此项工程,各需多少天？
(2) 若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司施工费较少？

答案： 解：
(1)设甲公司单独完成此工程$x$天，则乙公司单独完成此项工程$1.5x$天，根据题意，得$\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}=\frac{1}{12}$，解得$x = 20$，经检验知$x = 20$是方程的解且符合题意，则$1.5x = 30$，故甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天。
(2)设甲公司每天的施工费$y$元，则乙公司每天的施工费$(y - 1500)$元，根据题意，得$12(y + y - 1500)=102000$，解得$y = 5000$。甲公司单独完成此工程所需施工费：$20\times5000 = 100000$（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：$30\times(5000 - 1500)=105000$（元），故甲公司的施工费较少。

23. (本小题12分)阅读:对于两个不等的非零实数$a$、$b$，若分式$\frac{(x - a)(x - b)}{x}$的值为零,则$x = a$或$x = b$. 又因为$\frac{(x - a)(x - b)}{x}=\frac{x^{2}-(a + b)x + ab}{x}=x+\frac{ab}{x}-(a + b)$，所以关于$x$的方程$x+\frac{ab}{x}=a + b$有两个解分别为$x_{1}=a$，$x_{2}=b$.
应用上面的结论解答下列问题:
(1) 方程$x+\frac{6}{x}=5$的两个解中较小的一个为_______；
(2) 解关于$x$的方程$x+\frac{2}{x + 1}=2$，首先我们两边同加1成$x + 1+\frac{2}{x + 1}=2 + 1$，设$x+\frac{2}{x + 1}=2$两个解分别为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$，则$x_{1}=$_______，$x_{2}=$_______；
(3) 关于$x$的方程$2x+\frac{n^{2}+3n + 2}{2x - 1}=2n + 4$的两个解分别为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$，求$\frac{x_{1}-1}{2x_{2}-3}$的值.

答案： 解：
(1)由题意可得，$a + b = 5$，$ab = 6$，
∴$a = 2$，$b = 3$，
∴较小的解是2；
(2)
∵$x + 1+\frac{2}{x + 1}=3$，
∴$ab = 2$，$a + b = 3$，
∴$a = 1$，$b = 2$，
∴$x + 1 = 1$或$x + 1 = 2$，
∴$x_1 = 0$，$x_2 = 1$；
(3)由$2x - 1+\frac{n^2 + 3n + 2}{2x - 1}=2n + 4 - 1$，
∴$2x - 1+\frac{n^2 + 3n + 2}{2x - 1}=2n + 3$，
∴$ab = n^2 + 3n + 2$，$a + b = 2n + 3$，
∴$2x - 1 = n + 1$，$2x - 1 = n + 2$，
∵$x_1＜x_2$，
∴$x_1=\frac{1}{2}n + 1$，$x_2=\frac{1}{2}n+\frac{3}{2}$，
∴$\frac{x_1 - 1}{2x_2 - 3}=\frac{1}{2}$。