《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

18. (本小题6分)已知二次三项式$2x^{2}+9x - k$有一个因式是$2x - 1$,求另一个因式以及$k$的值.

答案： 解：设另一个因式为$px + n$，
得$2x^{2} + 9x - k=(2x - 1)(px + n)$，
于是$2x^{2} + 9x - k = 2px^{2} + (2n - p)x - n$
对比等式左右两边各项系数，
可知$2p = 2$，$2n - p = 9$，$-k = -n$，
$\therefore p = 1$，$n = 5$，$k = 5$，
$\therefore$另一个因式为$x + 5$，$k$的值为$5$

19. (本小题6分)已知$x=a^{2}+2b^{2}+18,y=8b + 4a - 3$,比较$x,y$的大小关系.

答案： 解：$x - y=(a^{2} + 2b^{2} + 18)-(8b + 4a - 3)$
$=a^{2} + 2b^{2} + 18 - 8b - 4a + 3$
$=(a^{2} - 4a + 4)+2(b^{2} - 4b + 4)+9$
$=(a - 2)^{2}+2(b - 2)^{2}+9\geqslant9$，
$\therefore x - y＞0$，即$x＞y$

20. (本小题9分)阅读下列解题过程：
已知$a,b,c$为三角形的三边,且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$,试判断$\triangle ABC$的形状.
解:$\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4},$(A)
$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2}),(B)$
则$c^{2}=a^{2}+b^{2},$(C)
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.(D)
(1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误? 请写出该步的代号______;
(2)错误的原因是____________________;
(3)请写出正确的解答过程.

答案：
(1) C
(2) 忽略了$a^{2} - b^{2} = 0$，即$a = b$的可能
(3) 解：$\because a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} = a^{4} - b^{4}$，
$\therefore c^{2}(a^{2} - b^{2})=(a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2})$，
即$c^{2}(a^{2} - b^{2})-(a^{2} + b^{2})(a^{2} - b^{2}) = 0$，
$\therefore (a^{2} - b^{2})(c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0$，
$\therefore a^{2} - b^{2} = 0$或$c^{2} - a^{2} - b^{2} = 0$，
即$a = b$或$c^{2} = a^{2} + b^{2}$，
$\therefore\triangle ABC$为等腰三角形或直角三角形

21. (本小题10分)阅读材料：
分解因式:$x^{2}+2x - 3$
解:原式$=x^{2}+2x + 1 - 4=(x + 1)^{2}-4$
$=(x + 1 + 2)(x + 1 - 2)=(x + 3)(x - 1)$
此种方法抓住了二次项和一次项的特点,然后加一项,使这三项成为完全平方式,我们把这种分解因式的方法叫配方法. 请仔细体会配方法的特点,然后尝试用配方法解决下列问题：
(1)分解因式$x^{2}-2x - 3=$______;$a^{2}-4ab - 5b^{2}=$______;
(2)无论$m$取何值,代数式$m^{2}+6m + 13$总有一个最小值,请你尝试用配方法求出它的最小值.

答案： 解：
(1) $(x - 3)(x + 1)$；$(a + b)(a - 5b)$
(2) $m^{2} + 6m + 13 = m^{2} + 6m + 9 + 4=(m + 3)^{2}+4$，
$\because (m + 3)^{2}\geqslant0$，
$\therefore$代数式$m^{2} + 6m + 13$的最小值是$4$