《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

22. (本小题12分)如图1，△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F. 连接DB、DC.
(1)求证：△DBE≌△DFC；
(2)求证：AB + AC = 2AE；
(3)如图2，若△ABC的边BC的中垂线DM交∠BAC的外角平分线AD于D，DE⊥AB于点E，且AB＞AC，写出AE、BE、AC之间的等量关系.(不需证明，只需在图2中作出辅助线，说明证哪两个三角形全等即可)

答案：

(1) 证明：$\because DM\perp$平分$BC$，$\therefore DB = DC$，$\because\angle 1=\angle 2$. $DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$\therefore DE = DF$，$\therefore Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC(HL)$.

(2) 证明：$\because DE = DF$，$AD = AD$，$\angle AED=\angle AFD = 90^{\circ}$，$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL)$，$\therefore AE = AF$. 又$\because Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC$，$\therefore BE = CF$，$AB + AC = AE + BE + AF - CF = 2AE$.
(3) 解：$BE = AE + AC$. 作$DF\perp AC$于$F$，连接$DB$、$DC$，证明$Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC$，$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF$即可.

23. (本小题12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.
(1)求点B的坐标；
(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.
(3)连接OQ，当OQ//AB时，求P点的坐标.

答案：
解：
(1) 作$BM\perp y$轴于$M$，$\because OA = OB = AB = 2$，$\therefore OM = 1$，$BM=\sqrt{3}$，$\therefore B(\sqrt{3},1)$.

(2)$\because AP = AQ$，$AO = AB$，$\angle 1=\angle 2 = 60^{\circ}-\angle OAQ$，$\therefore\triangle APO\cong\triangle AQB(SAS)$，$\therefore\angle AOP=\angle ABQ = 90^{\circ}$，即$\angle ABQ$的大小不变.
(3) 当$OQ// AB$时，$\angle BQO = 90^{\circ}$，$\because\angle OBQ = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$OB = 2$，$\therefore OQ = 1$，$BQ=\sqrt{3}$. $\because\triangle APO\cong\triangle AQB$，$\therefore PO = BQ=\sqrt{3}$，$\therefore P(-\sqrt{3},0)$.