《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

21. (本小题12分)某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包和水性笔若干支(不少于4支).
(1)分别写出两种优惠方法购买费用$y$(元)与所买水性笔支数$x$(支)之间的函数关系式；
(2)通过对$x$的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.

答案： 解：
(1) 设按优惠方法①购买需用$y_{1}$元，按优惠方法②购买需用$y_{2}$元，则$y_{1}=(x - 4)\times5 + 20\times4 = 5x + 60$，$y_{2}=(5x + 20\times4)\times0.9 = 4.5x + 72$.
(2) 设$y_{1}＞y_{2}$，即$5x + 60＞4.5x + 72$，解得$x＞24$. 当$x＞24$时，选择优惠方法②；设$y_{1}=y_{2}$，$\therefore$当$x = 24$时，选择优惠方法①，②均可. $\therefore$当$4\leqslant x＜24$时，选择优惠方法①.
(3)$\because$需要购买 4 个书包和 12 支水性笔，而$12＜24$，
购买方案一：用优惠方法①购买，需$5x + 60 = 5\times12 + 60 = 120$（元）；购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买 4 个书包，需要$4\times20 = 80$（元），同时获赠 4 支水性笔；用优惠方法②购买 8 支水性笔，需要$8\times5\times90\% = 36$（元）. 共需$80 + 36 = 116$（元）.
显然$116＜120$. $\therefore$最佳购买方案是：用优惠方法①购买 4 个书包，获赠 4 支水性笔；再用优惠方法②购买 8 支水性笔.

22. (本小题12分)长方形$ABCD$中，$AB = 4$，$AD = m$，点$P$以每秒1个单位的速度从$A$向$B$运动，点$Q$同时以每秒2个单位的速度从$A$向$D$运动，设$P$，$Q$两点运动时间为$t$，点$E$为边$CD$上任意一点.(点$E$不与点$C$、点$D$重合)
(1)请直接用含$m$、$t$的代数式，表示线段$QD$的长度；
(2)当$m = 5$时，连接$QE$，若$\triangle APQ$与$\triangle EDQ$全等，求$DE$的长；
(3)若在边$AD$上总存在点$Q$使得$\triangle APQ\cong\triangle DQE$，请直接写出$m$的取值范围.

答案： 解：
(1) 根据题意，$AQ = 2t$，
$\therefore QD = AD - AQ = m - 2t$，
$\therefore$线段$QD$的长度为$m - 2t$；
(2) 由题意得：$AQ = 2t$，$AP = t$，$DQ = 5 - 2t$，
当$AP = DQ$时：$t = 5 - 2t$，解得：$t = \frac{5}{3}$
此时$DE = AQ = 2t = \frac{10}{3}$；
当$AQ = DQ$时：$2t = 5 - 2t$. 得$t = \frac{5}{4}$，
此时$DE = AP = t = \frac{5}{4}$；
综上所述：$DE = \frac{10}{3}$或$\frac{5}{4}$时，$\triangle APQ$与$\triangle EDQ$全等；
(3)$\because\triangle APQ\cong\triangle DQE$，$\therefore AP = DQ$，$AQ = DE$，
由$AP = DQ$知：$t = m - 2t$，解得：$t = \frac{m}{3}$，
$\because AB = 4$，$AP\leqslant AB$，$\therefore 0 ＜ t\leqslant4$；
即$0 ＜ \frac{m}{3}\leqslant4$①，$\because 0 ＜ DE\leqslant4$，$\therefore 0 ＜ AQ\leqslant4$，
$\therefore 0 ＜ 2t\leqslant4$，即$0 ＜ \frac{2}{3}m\leqslant4$②；
由①②解得：$0 ＜ m\leqslant6$，
$\therefore$满足条件$m$的取值范围为$0 ＜ m\leqslant6$.

23. (本小题12分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2$，$\angle B = 40^{\circ}$，点$D$在线段$BC$上运动($D$不与$B$、$C$重合)，连接$AD$，作$\angle ADE = 40^{\circ}$，$DE$交线段$AC$于$E$.
(1)点$D$从$B$向$C$运动时，$\angle BDA$逐渐变________(填“大”或“小”)；设$\angle BAD = x^{\circ}$，$\angle BDA = y^{\circ}$，求$y$与$x$的函数关系式；
(2)当$DC$的长度是多少时，$\triangle ABD\cong\triangle DCE$？请说明理由；
(3)在点$D$的运动过程中，$\triangle ADE$的形状也在改变，当$\angle BDA$等于多少度时，$\triangle ADE$是等腰三角形？判断并说明理由.

答案： 解：
(1) 在$\triangle ABD$中，$\angle B+\angle BAD+\angle ADB = 180^{\circ}$，$\therefore 40 + x + y = 180$，$\therefore y = 140 - x(0 ＜ x ＜ 100)$，当点$B$从点$B$向$C$运动时，$x$增大，$\therefore y$减小.
(2) 当$DC = 2$时，$\triangle ABD\cong\triangle DCE$，理由：$\angle C = 40^{\circ}$，
$\therefore\angle DEC + EDC = 140^{\circ}$，又$\because\angle ADE = 40^{\circ}$，
$\therefore\angle ADB + \angle EDC = 140^{\circ}$，$\therefore\angle ADB = \angle DEC$，
又$\because AB = DC = 2$，在$\triangle ABD$和$\triangle DCE$中
$\begin{cases}\angle ADB = \angle DEC\\\angle B = \angle C\\AB = DC\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD = \triangle DCE(AAS)$.
(3) 当$\angle BDA$的度数为$110^{\circ}$或$80^{\circ}$时，$\triangle ADE$的形状是等腰三角形，理由：在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle B = 40^{\circ}$，$\therefore\angle BAC = 100^{\circ}$，①当$AD = AE$时，$\angle AED = \angle ADE = 40^{\circ}$，$\therefore\angle DAE = 100^{\circ}$，不符合题意，舍去. ②当$AD = ED$时，$\angle DAE = \angle DEA$，根据三角形的内角和得，$\angle DAE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$，$\therefore\angle BAD = \angle BAC - \angle DAE = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BDA = 180^{\circ} - \angle B - \angle BAD = 110^{\circ}$. ③当$AE = DE$时，$\angle DAE = \angle ADE = 40^{\circ}$，$\therefore\angle BAD = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}$，$\therefore\angle BDA = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ}$，$\therefore\angle BDA$的度数为$110^{\circ}$或$80^{\circ}$时，$\triangle ADE$是等腰三角形.