《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

10. 在边长为$a$的正方形中挖掉一个边长为$b$的小正方形$(a＞b)$,把余下的部分剪拼成一个矩形(如图).通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )

A. $a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
B. $(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
C. $(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$
D. $a^{2}-ab=a(a - b)$

答案： A

11. 已知$a + b=2,ab = 2$,则$\frac{1}{2}a^{3}b+a^{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab^{3}$的值为______.

答案： 4

12. 多项式$2ax^{2}-8a$与多项式$2x^{2}-8x + 8$的公因式为______________.

答案： $2(x - 2)$

13. $a^{2}+6a + 9+|b - 3|=0$,则$a - b=$______.

答案： -6

14. 计算:$\frac{2024}{2025^{2}-2023^{2}}=$______.

答案： $\frac{1}{4}$

15. 已知长方形的面积为$6m^{2}+60m + 150(m＞0)$,长与宽的比为$3:2$,则这个长方形的周长为________________.

答案： $10m + 50$

16. (本小题12分)将下列各式分解因式：
(1)$-2a^{3}+12a^{2}-18a$; (2)$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}$;
(3)$(x^{2}-2x)^{2}+2(x^{2}-2x)+1$; (4)$-28m^{3}n^{2}+42m^{2}n^{3}-14m^{2}n$.

答案： 解：
(1) 原式$= -2a(a^{2} - 6a + 9)$
$= -2a(a - 3)^{2}$
(2) 原式$=(x^{2} + 4 + 4x)(x^{2} + 4 - 4x)$
$=(x + 2)^{2}(x - 2)^{2}$
(3) 原式$=(x^{2} - 2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$
(4) 原式$=-(28m^{3}n^{2} - 42m^{2}n^{3} + 14m^{2}n)$
$=-14m^{2}n(2mn - 3n^{2} + 1)$

17. (本小题10分)先分解因式,再求值：
(1)已知$x - y=-\frac{2}{3}$,求$(x^{2}+y^{2})^{2}-4xy(x^{2}+y^{2})+4x^{2}y^{2}$的值;
(2)已知$x + y=1,xy=-\frac{1}{2}$,求$x(x + y)(x - y)-x(x + y)^{2}$的值.

答案： 解：
(1) 原式$=(x - y)^{4}$，当$x - y = -\frac{2}{3}$时，
原式$=\frac{16}{81}$
(2) 原式$=-2xy(x + y)$，当$x + y = 1$，$xy = -\frac{1}{2}$时，原式$=-2\times(-\frac{1}{2})\times1 = 1$