《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

18. (本小题7分)某种商品的进价为150元,出售时的标价为225元,由于销售情况不好,商店决定降价销售,但要保证利润不低于10%,那么商店最多降价多少元出售此商品?

答案： 解：设商店降价 $x$ 元出售，则有 $\frac{225 - x - 150}{150}\geq10\%$，$\frac{75 - x}{150}\geq0.1$，$75 - x\geq15$，解得 $x\leq60$，答：商店最多降价 60 元出售。

19. (本小题7分)在方程组$\begin{cases}2x + y = 1 - m \\x + 2y = 2\end{cases}$中,若未知数$x$、$y$满足$x + y ＞ 0$,求$m$的取值范围.

答案： 解：两方程相加得，$(2x + y) + (x + 2y) = (1 - m)+2$，即 $3x + 3y = 3 - m$，可得 $x + y = \frac{3 - m}{3}$，$\because x + y ＞ 0$，即 $\frac{3 - m}{3} ＞ 0$，$\therefore m ＜ 3$。

20. (本小题8分)定义关于@的一种运算：$a@b = a + 2b$,如$2@3 = 2 + 6 = 8$.
(1)若$3@x ＜ 7$,且$x$为正整数,求$x$的值;
(2)若关于$x$的不等式$3(x + 1)\leqslant8 - x$的解和$x@a\leqslant5$的解相同,求$a$的值.

答案： 解：
(1) 由 $3@x ＜ 7$ 得：$3 + 2x ＜ 7$，解得 $x ＜ 2$，$\because x$ 为正整数，$\therefore x = 1$；
(2) 解不等式 $3(x + 1)\leq8 - x$ 得：$x\leq\frac{5}{4}$，由 $x@a\leq5$ 得：$x + 2a\leq5$，解得：$x\leq5 - 2a$，$\because$ 关于 $x$ 的不等式 $3(x + 1)\leq8 - x$ 的解和 $x@a\leq5$ 的解相同，$\therefore \frac{5}{4} = 5 - 2a$，解得 $a = \frac{15}{8}$。

21. (本小题10分)在数学学习中,及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法.善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后,把相关知识归纳整理如下：
　　　　　　　　　　　　
(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：
①________;②________;③________;④________;
(2)如果点$C$的坐标为$(1,3)$,那么不等式$kx + b\geqslant k_{1}x + b_{1}$的解集是________.

答案： 解：
(1) ① $kx + b = 0$。② $\begin{cases}y = kx + b \\ y = k_1x + b_1\end{cases}$。③ $kx + b ＞ 0$。④ $kx + b ＜ 0$。
(2) $x\leq1$。