《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

17. (本小题8分)解下列分式方程:
(1) $\frac{1}{x}+\frac{3}{x - 2}=\frac{2}{2x - x^{2}}$； (2) $\frac{3}{2}-\frac{2x}{3x - 1}=\frac{7}{6x - 2}$.

答案： 解：
(1)方程两边乘$x(x - 2)$，得$x - 2+3x=-2$，解得$x = 0$。检验：当$x = 0$时，$x(x - 2)=0$，因此$x = 0$不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解。
(2)方程两边乘$2(3x - 1)$，得$3(3x - 1)-4x = 7$，解得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$2(3x - 1)\neq0$，
∴原分式方程的解为$x = 2$。

18. (本小题7分)先化简,再求值:$(1-\frac{1}{x - 1})\div\frac{x^{2}-4x + 4}{x^{2}-1}$，其中$x = 3$.

答案： 解：原式$=\frac{x - 1 - 1}{x - 1}\div\frac{(x - 2)^2}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 2}{x - 1}\cdot\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 2)^2}=\frac{x + 1}{x - 2}$，当$x = 3$时，原式$=\frac{3 + 1}{3 - 2}=4$。

19. (本小题8分)已知关于$x$的分式方程$\frac{3}{x - 1}+\frac{m - x}{2 - 2x}+2 = 0$
(1) 若分式方程有增根,求$m$的值;
(2) 若分式方程的解是负数,求$m$的取值范围.

答案： 解：
(1)方程的增根为$x = 1$，原方程去分母并整理得$5x - m+2 = 0$，将$x = 1$代入方程得$5 - m+2 = 0$，解这个方程得$m = 7$，故$m$的值为$7$。
(2)由
(1)得$5x - m+2 = 0$，解这个方程得$x=\frac{m - 2}{5}$，
∵方程的解是负数，
∴$\frac{m - 2}{5}＜0$，解不等式得$m＜2$，
∴当$m＜2$时，分式方程的解是负数。

20. (本小题10分)某校组织学生去9 km外的郊区游玩,一部分学生骑自行车先走,半小时后,其他学生乘公共汽车出发,结果他们同时到达. 已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍,求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少.

答案： 解：设自行车的速度为$x$ km/h，则公共汽车的速度为$3x$ km/h。根据题意，得$\frac{9}{x}-\frac{9}{3x}=\frac{1}{2}$，解得$x = 12$。经检验，$x = 12$是原分式方程的解，
∴$3x = 36$。答：自行车的速度是12 km/h，公共汽车的速度是36 km/h。

21. (本小题10分)使得关于$x$的不等式组$\begin{cases}6x - a\geqslant - 10\\-1+\frac{1}{2}x＜-\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}\end{cases}$有且只有4个整数解,且关于$x$的分式方程$\frac{ax - 1}{4 - x}+\frac{27}{x - 4}=- 8$的解为正数的所有整数$a$的值之和为多少?

答案： 解：由不等式组$\begin{cases}6x - a\geqslant - 10\\-1+\frac{1}{2}x＜-\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}\end{cases}$，得$\begin{cases}x\geqslant\frac{a - 10}{6}\\x＜4\end{cases}$，
∵$x$有且只有4个整数解，
∴ - 1＜$\frac{a - 10}{6}\leqslant0$，解得$4＜a\leqslant10$。解分式方程$\frac{ax - 1}{4 - x}+\frac{27}{x - 4}=-8$，得$x=\frac{4}{8 - a}$，
∵解为正数，
∴$8 - a＞0$且$\frac{4}{8 - a}\neq4$，即$a＜8$且$a\neq7$，
∴$a = 5,6$，即所有整数$a$的值之和为$5 + 6 = 11$。