《2025年学练考精品单元卷八年级数学全一册北师大版》

22. (本小题10分)如图，一次函数$y_{1}=kx + b$的图象与$y$轴交于点$B(0,1)$，与$x$轴交于点$C$，且与正比例函数$y_{2}=\frac{3}{4}x$的图象交于点$A(m,3)$，结合图象回答下列问题：
(1)求$m$的值和一次函数$y_{1}$的表达式；
(2)当$x$为何值时，$y_{1}\cdot y_{2}＜0$？

答案： 解：
(1)
∵一次函数 $y_{1}=kx + b$的图象与正比例函数 $y_{2}=\frac{3}{4}x$的图象交于点 $A(m,3)$，
∴ $3=\frac{3}{4}m$，
∴ $m = 4$，
∴ $A(4,3)$；把 $A(4,3)$，$B(0,1)$代入 $y_{1}=kx + b$得，$\begin{cases}3 = 4k + b\\1 = b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$，
∴一次函数 $y_{1}$的表达式为 $y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$；
(2)$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$中，当 $y_{1}=0$时，解得 $x=-2$，
∴ $C(-2,0)$，
由图象知，当 $-2＜x＜0$时，$y_{1}$、$y_{2}$异号，
∴当 $-2＜x＜0$时，$y_{1}\cdot y_{2}＜0$。

23. (本小题12分)“一带一路”国家某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用$y_{1}$与包装盒数$x$满足如图1所示的函数关系；
方案二：租赁机器自己加工，所需费用$y_{2}$(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数$x$满足如图2所示的函数关系. 根据图象回答下列问题：
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元？
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
(3)请分别求出$y_{1}$、$y_{2}$与$x$的函数关系式；
(4)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由.

答案： 解：
(1)$500\div100 = 5$（元），
∴方案一的盒子单价为 5 元。
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为 20000 元，盒子的单价为 $(30000 - 20000)\div4000 = 2.5$，故盒子的单价为 2.5 元。
(3)设图 1 的函数解析式为：$y_{1}=k_{1}x$，由图象知函数经过点 $(100,500)$，
∴ $500 = 100k_{1}$，解得 $k_{1}=5$，
∴函数的解析式为 $y_{1}=5x$；
设图 2 的函数关系式为 $y_{2}=k_{2}x + b$，由图象知道函数的图象经过点 $(0,20000)$和 $(4000,30000)$，
∴$\begin{cases}b = 20000\\4000k_{2}+b = 30000\end{cases}$，
解得：$\begin{cases}k_{2} = 2.5\\b = 20000\end{cases}$，
∴函数的解析式为 $y_{2}=2.5x + 20000$。
(4)令 $5x = 2.5x + 20000$，解得 $x = 8000$，
∴当 $x = 8000$时，两种方案同样省钱；当 $x＜8000$时，选择方案一；当 $x＞8000$时，选择方案二。