《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

10. 我们约定“&”一个实际意义，规定$m&n=\sqrt{m}\times\sqrt{n}+\sqrt{\frac{m}{n}}$，则$2&3$的值为( ).
A. $4\sqrt{6}$
B. $\frac{3\sqrt{6}}{4}$
C. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
D. $3\sqrt{6}$

答案： C

11. 化简$\sqrt{(3 - \pi)^{2}}$的结果是_______.

答案： π - 3

12. 若$a$，$b$为有理数且满足$a + b\sqrt{3}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{1+\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}$，则$a + b=$_______.

答案： 4

13. 传统文化《数书九章》 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，那么该三角形的面积为$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}$，现已知$\triangle ABC$的三边长分别为$1$，$1$，$\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为_______.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{4}$

14. 计算：$2^{-1}+\sqrt{20}\div\sqrt{5}=$_______.

答案： $\frac{5}{2}$

15. 已知$x = \sqrt{2}-1$，求$2(x - 1)+x^{2}$的值.

答案： 15.原式$=2\times(\sqrt{2}-1 - 1)+(\sqrt{2}-1)^2$
$=2\sqrt{2}-4 + 3 - 2\sqrt{2}$
$=-1$.
一题多解 原式$=2x - 2 + x^2=(x + 1)^2-3=(\sqrt{2}-1 + 1)^2-3=2 - 3=-1$.

16. 若$m$满足关系式$\sqrt{3x + 5y - 2 - m}+\sqrt{2x + 3y - m}=\sqrt{x - 199 + y}\cdot\sqrt{199 - x - y}$，试求$m$的值.

答案： 16.根据题意，得$\begin{cases}x - 199 + y\geq0\\199 - x - y\geq0\end{cases}$，
则$x + y - 199 = 0$，
即$\sqrt{3x + 5y - 2 - m}+\sqrt{2x + 3y - m}=0$，
则$\begin{cases}x + y - 199 = 0\\3x + 5y - 2 - m = 0\\2x + 3y - m = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 396\\y = -197\\m = 201\end{cases}$，
故$m = 201$.