《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

23. 中考新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下面的材料：
解方程$x^4 - 7x^2 + 12 = 0$，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设$x^2 = y$，则$x^4 = y^2$，
∴原方程可化为$y^2 - 7y + 12 = 0$，解得$y_1 = 3$，$y_2 = 4$，
当$y = 3$时，$x^2 = 3$，∴$x = \pm\sqrt{3}$，
当$y = 4$时，$x^2 = 4$，∴$x = \pm2$.
∴原方程有四个根分别是$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$，$x_3 = 2$，$x_4 = -2$.
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想.
运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程：$(x^2 + x)^2 - 5(x^2 + x) + 4 = 0$；
(2)已知实数$a$，$b$满足$(a^2 + b^2)^2 - 3(a^2 + b^2) = 10$，试求$a^2 + b^2$的值.

答案：
(1)设$x^{2}+x = y$,则$(x^{2}+x)^{2}=y^{2}$,
$\therefore$原方程可化为$y^{2}-5y + 4 = 0$,
整理,得$(y - 1)(y - 4)=0$,
解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.
当$x^{2}+x = 1$,
即$x^{2}+x - 1 = 0$时,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$;
当$x^{2}+x = 4$,
即$x^{2}+x - 4 = 0$时,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.
$\therefore$原方程的解分别为$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_{4}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
(2)设$a^{2}+b^{2}=x$,则$(a^{2}+b^{2})^{2}=x^{2}$,
$\therefore$原方程可化为$x^{2}-3x - 10 = 0$,
整理,得$(x - 5)(x + 2)=0$,
解得$x_{1}=5,x_{2}=-2$(舍去),
则$a^{2}+b^{2}=5$.