《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

21. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB = 8，AD = 4，求四边形DHBG的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)菱形.理由如下:
　
∵四边形ABCD,FBED是完全相同的矩形，
∴∠A=∠E=90°,AD=ED,AB=EB.
　
∴△DAB≌△DEB(SAS).
∴∠ABD=∠EBD.
　
∵AB//CD,DF//BE,
　
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB =∠EBD.
∴∠HDB=∠HBD.
　
∴DH=BH.
　
∴平行四边形DHBG是菱形.
(2)由
(1),设DH=BH=x,则AH=8−x.在Rt△ADH中,AD²+AH²=DH²,即4²+(8−x)²=x²,解得x=5,则BH=5.
∴菱形DHBG的面积为HB·AD=20.

22. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′ =________；
（2）当BC′//DE时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长.
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　

答案：

(1)4
(2)如图
(1),连接BC'.
　　由折叠,得∠CED=∠C'ED.
　
∵BC'//DE,
　
∴∠EC'B=∠C'ED,∠CED=∠C'BE.
∴∠EC'B=∠C'BE.
　
∴EC=C'E=BE=$\frac{1}{2}$BC=4.
　　　
(3)作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N,分两种情况讨论:
　　①当点C'在矩形内部时,如图
(2)，
　
∵点C'在AD的垂直平分线上，
　
∴DM=4.
　
∵DC'=DC=6,
　
∴由勾股定理,得MC'=$\sqrt{DC'²−DM²}$=2$\sqrt{5}$.
∴NC'=6−2$\sqrt{5}$
　　设EC=x,则C'E=x,NE=4−x.
　
∵NC'²+NE²=C'E²,
　
∴(6−2$\sqrt{5}$)²+(4−x)²=x²,
　　解得x=9−3$\sqrt{5}$,即CE=9−3$\sqrt{5}$
　　②当点C'在矩形外部时,如图
(3).

　
∵点C'在AD的垂直平分线上，
　
∴DM=4.
　
∵DC'=6,
∴由勾股定理,得MC'=2$\sqrt{5}$
　
∴NC'=6+2$\sqrt{5}$
　　设EC=y,则C'E=y,NE=y−4.
　
∵NC'²+NE²=C'E²,
　
∴(6+2$\sqrt{5}$)²+(y−4)²=y²,
　　解得y=9+3$\sqrt{5}$,即CE=9+3$\sqrt{5}$
　　综上所述,CE的长为9+3$\sqrt{5}$或9−3$\sqrt{5}$