《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

21. 小明剪了一些直角三角形纸片，他取出其中的几张进行了如下的操作：
操作一：如图（1），将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE. 如果∠CAD：∠CDA = 1：2，CD = 1 cm，试求AB的长.
操作二：如图（2），小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将其折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AE重合，折痕为AD. 已知两直角边AC = 6 cm，BC = 8 cm，请你求出CD的长.
操作三：如图（3），小明又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB于点D. 请写出BC，AD，AC与BD之间的关系式.

答案： 操作一：
∵∠CAD：∠CDA = 1：2，∠C = 90°，故设∠CAD = x，则∠CDA = 2x，
∴x + 2x = 90°，解得x = 30°，
故∠CAD = 30°，则AD = 2CD，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}\text{ cm}$.
∵将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，
∴BD = AD，∠DBA = ∠DAB.
∵∠CDA = 2x = 60°，
∴∠B = 30°，
∴AB = 2AC = $2\sqrt{3}\text{ cm}$.
操作二：
∵AC = 6 cm，BC = 8 cm，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10(\text{cm})$.
根据折叠性质，得AC = AE = 6 cm，
∴BE = AB - AE = 10 - 6 = 4(cm).
设CD = x cm，则BD = (8 - x)cm，DE = x cm，
在Rt△BDE中，由题意，得$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，解得x = 3，即CD = 3 cm.
操作三：在Rt△BCD中，由勾股定理，得$BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}$，即$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}$
在Rt△ACD中，由勾股定理，得$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，即$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$，
∴$BC^{2}-BD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$，
即$BC^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}$.
故BC，AD，AC与BD之间的关系式是$BC^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}$.

22. 如图，在四边形ABCD中，CD = AD = 2$\sqrt{2}$，∠D = 90°，AB = 5，BC = 3. 求：
（1）∠C的度数；
（2）四边形ABCD的面积.

答案：
(1)连接AC.在Rt△ACD中，∠D = 90°，$CD = AD = 2\sqrt{2}$，
∴$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=4$，∠ACD = 45°.
在△ABC中，
∵AB = 5，BC = 3，AC = 4，
∴$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，
∴∠ACB = 90°，
∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 135°.
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$
$=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=10$.