《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

23. 如图（1）是八年级教科书中的一道题.
　　　　
　　(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件:__________;
　　(2)如图(2),若点E是BC边上的任意一点(不与B,C重合),其他条件不变. 求证:AE = EF;
　　(3)在(2)条件下,连接AC,过点E作EP⊥AC,垂足为P. 设$\frac{BE}{BC}$ = k,当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形,并给予证明.
　　　　　　　　　　　　

答案：
（1）AG = CE
（2）如图（1），取AG = EC，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°.
∵AG = CE，
∴BG = BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE = ∠BEG = 45°，
∴∠AGE = 135°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD = 90°.
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF = 45°，
∴∠ECF = 90°+45° = 135° = ∠AGE.
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC = 90°.
∵∠BAE+∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE = EF.

（3）如图（2），当$k=\frac{1}{3}$时，四边形PECF是平行四边形.由（2），得△GAE≌△CEF，
∴CF = EG.
设BC = x，则BE = kx，
∴$GE=\sqrt{2}kx$，$EC=(1 - k)x$.
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC = 45°，$PE=\frac{\sqrt{2}}{2}EC=\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - k)x$，
∴∠PEC+∠ECF = 180°，
∴PE//CF.
当PE = CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}(1 - k)x=\sqrt{2}kx$，解得$k=\frac{1}{3}$.