《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

23.中考新考法规律探究观察下列各式:
$\sqrt{1+\frac{1}{1²}+\frac{1}{22}}$=1+$\frac{1}{1×2}$;...①
$\sqrt{1+\frac{1}{22}+\frac{1}{32}}$=1+$\frac{1}{2×3}$;...②
$\sqrt{1+\frac{1}{3²}+\frac{1}{4²}}$=1+$\frac{1}{3×4}$....③
请利用你所发现的规律，解决下列问题:
(1)发现规律:$\sqrt{\frac{1}{42}+\frac{1}{52}}$1+　　　=________;
(2)计算:$\sqrt{\frac{1}{1²}+\frac{1}{22}}$1+　　　+./$\sqrt{\frac{1}{22}+\frac{1}{32}}$1+　　　　　$\sqrt{1+\frac{1}{32}+\frac{1}{42}}$+...+$\sqrt{1+\frac{1}{2023}+\frac{1}{2024}}$.

答案：
(1)$1+\frac{1}{4\times5}$
(2)原式$=1+\frac{1}{1\times2}+1+\frac{1}{2\times3}+1+\frac{1}{3\times4}+\cdots+1+\frac{1}{2023\times2024}$
$=2023+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})$
$=2023+(1-\frac{1}{2024})=2023+\frac{2023}{2024}$
$=2023\frac{2023}{2024}$.