《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

17. 某中学为了了解八年级学生的课外阅读情况，随机调查了该年级的25名学生，得到了他们上周双休日课外阅读时间(记为t，单位：小时)的一组样本数据，其扇形统计图如图所示，其中y表示与t对应的学生数占被调查人数的百分比.
(1)求t = 4相对应的y值；
(2)试确定这组样本数据的中位数和众数；
(3)请估计该校八年级学生上周双休日的平均课外阅读时间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)与$t = 4$相对应的$y$值为$1-12\%-16\%-24\%-12\%-8\%=28\%$.
(2)在样本数据中，“1”的个数为3，同理可得“2”“3”“4”“5”“6”的个数分别为4，6，7，3，2，可知样本数据的中位数和众数分别为3小时和4小时.
(3)这组样本数据的平均数为$1\times12\%+2\times16\%+3\times24\%+4\times28\%+5\times12\%+6\times8\%=3.36$（小时）.

18. 已知一组数据x₁，x₂，…，x₆的平均数为1，方差为$\frac{5}{3}$.
(1)求x₁² + x₂² + … + x₆²；
(2)若在这组数据中加入另一个数据x₇，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差(结果用分数表示).

答案：
(1)$\because$数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的平均数为1，$\therefore x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=1\times6 = 6$.
又方差为$\frac{5}{3}$，$\therefore s^{2}=\frac{1}{6}[(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\cdots+(x_{6}-1)^{2}]=\frac{1}{6}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2}-2(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6})+6]=\frac{1}{6}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2}-2\times6 + 6)=\frac{1}{6}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2})-1=\frac{5}{3}$.
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{6}^{2}=16$.
(2)$\because$数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{7}$的平均数为1，$\therefore x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{7}=1\times7 = 7$.
$\because x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{6}=6$，$\therefore x_{7}=1$.
$\because\frac{1}{6}[(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\cdots+(x_{6}-1)^{2}]=\frac{5}{3}$，$\therefore(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\cdots+(x_{6}-1)^{2}=10$.
$\therefore s^{2}=\frac{1}{7}[(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}+\cdots+(x_{7}-1)^{2}]=\frac{1}{7}[10+(1 - 1)^{2}]=\frac{10}{7}$.