《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

20. 如图(1)，将长为2a + 3、宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图(2)所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图(2)中小正方形的边长；
(2)已知图(2)中小正方形的面积为36，求大正方形的面积.
　　　　　　　　　　　

答案：
(1)$\because$直角三角形较短的直角边$=\frac{1}{2}\times2a=a$,较长的直角边$=2a + 3$,
$\therefore$小正方形的边长$=2a + 3 - a=a + 3$.
(2)小正方形的面积$=(a + 3)^{2}=36$,
$\therefore a + 3 = 6$或$a + 3 = - 6$,
$\therefore a = 3$或$a = - 9$(舍去),
$\therefore 2a + 3 = 9$,
$\therefore$大正方形的面积$=9^{2}+3^{2}=90$.
素养考向 本题考查了以弦图为背景的计算、整式的加减、利用平方根的定义解方程、勾股定理,利用数形结合的思想是解题的关键.

21. 已知△ABC为等腰三角形，AB = AC.
（1）如图（1），作BD⊥AC于点D，若CD = 2，BD = 4，求AB的长度；
（2）如图（2），若AB = 2，E为BC延长线上一点，且AE = 4. 若BC：CE = 2：3，判断△ABE的形状，并证明结论.
　　　　　　　　　

答案：

(1)$\because\triangle ABC$为等腰三角形,$AB = AC$,
$BD\perp AC,CD = 2,BD = 4$,
$\therefore AB^{2}=(AC - CD)^{2}+BD^{2}$,
即$AB^{2}=(AB - 2)^{2}+4^{2}$,解得$AB = 5$.
(2)$\triangle ABE$是直角三角形. 理由如下：
如图,过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$.

$\because\triangle ABC$为等腰三角形,$AB = AC$,
$\therefore BD = DC=\frac{1}{2}BC$.
设$BC = 2x,CE = 3x$.
在$Rt\triangle ABD$中,$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}=4 - x^{2}$.
在$Rt\triangle ADE$中,$AD^{2}=AE^{2}-DE^{2}=16 - 16x^{2}$.
即$16 - 16x^{2}=4 - x^{2}$,解得$x^{2}=\frac{4}{5}$.
$\because BE^{2}=25x^{2}=25\times\frac{4}{5}=20,AB^{2}=4$,
$AE^{2}=16$,即$AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}$,
$\therefore\triangle ABE$是直角三角形.