《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

15. 已知△ABC的三边长为a，b，c，且a - b = 8，ab = 2，c = 2$\sqrt{17}$，试判断△ABC的形状，并说明理由.

答案： $\triangle ABC$是直角三角形. 理由如下：
$\because a - b = 8,ab = 2$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab = 64 + 4 = 68$.
又$c = 2\sqrt{17},\therefore c^{2}=68,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,
$\therefore\triangle ABC$是以$c$为斜边长的直角三角形.

16. 小伟准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔. 已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)第一条边长可以为7m吗？为什么？请说明理由，并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说出你的围法；若不能，请说明理由.

答案：
(1)根据题意,得第二条边长为$(2a + 2)m$,
$\therefore$第三条边长为$30 - a-(2a + 2)=(28 - 3a)m$.
(2)不可以. 理由如下：
当$a = 7$时,三边长分别为7,16,7.
$\because 7 + 7\lt16,\therefore$不能构成三角形,即第一条边长不能为7 m.
由$\begin{cases}a + 2a + 2\gt28 - 3a\\a + 28 - 3a\gt2a + 2\end{cases}$,解得$\frac{13}{3}\lt a\lt\frac{13}{2}$,
即$a$的取值范围是$\frac{13}{3}\lt a\lt\frac{13}{2}$.
(3)在
(2)的条件下,$a$为整数时,$a$只能取5或6.
当$a = 5$时,三角形的三边长分别为5,12,13. 由$5^{2}+12^{2}=13^{2}$知,恰好能构成直角三角形.
当$a = 6$时,三角形的三边长分别为6,14,10,由$6^{2}+10^{2}\neq14^{2}$知,此时不能构成直角三角形.
综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5 m,12 m,13 m.