《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

19. (1)已知$a$，$b$在数轴上位置如图(1)，化简：$\sqrt{(a + b)^{2}}+\sqrt{(a - b)^{2}}-\sqrt{a^{2}}$；
(2)如图(2)，已知在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$BC$上的一点，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$E$，$F$分别为垂足. $DE + DF = 2\sqrt{2}$，三角形$ABC$的面积为$3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，求$AB$的长.

答案：

(1)由题可知，$a + b\lt0,a - b\lt0,a\lt0$，
$\therefore\sqrt{(a + b)^2}+\sqrt{(a - b)^2}-\sqrt{a^2}=\vert a + b\vert+\vert a - b\vert-\vert a\vert=-a - b - a + b + a=-a$.
(2)如图，连接$AD$，过点$C$作$CM\perp AB$，垂足为$M$.

$\because AB = AC,DE\perp AB,DF\perp AC$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$，
即$\frac{1}{2}AB\cdot CM=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF$，
$\therefore CM = DE + DF = 2\sqrt{2}$.
又三角形$ABC$的面积为$3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot CM = 3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$，
$\therefore AB = 3 + 2\sqrt{3}$.
故$AB$的长为$3 + 2\sqrt{3}$.

20. 小明发现：$\sqrt{2}＜2$，$\sqrt{3}＜3$，$\sqrt{4}＜4$，$\sqrt{5}＜5$，$\cdots$，$\sqrt{10}＜10$，$\cdots$，于是他猜想：当$a＞0$时，$\sqrt{a}＜a$. 他的猜想若对，为什么？若不对，请举反例.

答案： 他的猜想不对.如：$\sqrt{0.25}=0.5,\sqrt{0.25}\gt0.25,\sqrt{0.36}=0.6,\sqrt{0.36}\gt0.36$，
又如：$\sqrt{1}=1$.
故当$a\gt1$时，有$\sqrt{a}\lt a$；当$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，有$\sqrt{a}\gt a$.