《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

23. 如图（1），在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$O$是$BC$的中点，$P$，$Q$分别是$AB$，$AC$上一点，连接$OP$，$OQ$，$PQ$，已知$OP\perp OQ$.
（1）过点$B$作$BD// AC$交$QO$的延长线于点$D$.
①求证：$O$为$DQ$的中点；
②求证：$AP^{2}+AQ^{2}=BP^{2}+CQ^{2}$.
（2）如图（2），若$P$，$Q$分别在$AB$，$CA$的延长线上，其余条件不变，②中的结论是否成立？若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论.

答案：

(1)①
∵O是BC的中点，
∴OB=OC.
∵BD//AC，
∴∠D=∠CQO.
在△BOD和△COQ中，
{∠D=∠CQO，
{∠BOD=∠COQ，
{OB=OC，
∴△BOD≌△COQ(AAS)，
∴OD=OQ，
∴O为DQ的中点.
②如图
(1)，过点C作CM//AB，交PO的延长线于点M，连接QM，
∴∠CMO=∠BPO.
∵∠A=90°，O是BC的中点，
∴∠MCQ=90°，OB=OC.
在△COM和△BOP中，{∠CMO=∠BPO，∠COM=∠BOP，OC=OB，
∴△COM≌△BOP(AAS)，
∴CM=BP，OM=OP.
∵OP⊥OQ，
∴OQ垂直平分PM，
∴PQ=MQ.
在Rt△QCM中，由勾股定理，得CQ² + CM²=MQ²，
∴CQ² + BP²=PQ².
在Rt△APQ中，由勾股定理，得AP² + AQ²=PQ²，
∴AP² + AQ²=BP² + CQ².

(2)②中的结论成立.理由如下：
如图
(2)，过点C作CN//AP，交PO的延长线于点N，连接QN，
∴∠NCO=∠PBO，∠BAC=∠NCA=90°.
∵O是BC的中点，
∴OB=OC.
在△CON和△BOP中，
{∠NCO=∠PBO，
{OC=OB，
{∠NOC=∠POB，
∴△CON≌△BOP(ASA)，
∴CN=BP，ON=OP.
∵OP⊥OQ，
∴OQ垂直平分PN，
∴PQ=NQ.
在Rt△QCN中，由勾股定理，得CQ² + CN²=NQ²，
∴CQ² + BP²=PQ².
在Rt△APQ中，由勾股定理，得AP² + AQ²=PQ²，
∴AP² + AQ²=BP² + CQ².