《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

17. 如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点，且DE⊥AB,AB=a，AC=√3a,求:
　　(1)∠ABC的度数;
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)菱形ABCD的面积.

答案：
（1）如图，连接BD，交AC于点O.

在菱形ABCD中，
∵DE⊥AB，E是AB的中点，
∴AB = AD = DB.
∴△ABD为等边三角形.
∴∠ABD = 60°.
∴∠ABC = 2∠ABD = 120°.
（2）由（1）知BD = AB = a，
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}a\cdot a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}$.

18. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
　　(1)求证:四边形ADCE为矩形.
　　(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.
　　

答案： （1）在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC.
∴∠BAD = ∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE = ∠CAE.
∴∠DAE = ∠DAC+∠CAE = 90°.
又AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC = ∠CEA = 90°.
∴四边形ADCE为矩形.
（2）条件不唯一，当∠BAC = 90°时，四边形ADCE是正方形.证明如下：
∵∠BAC = 90°，AB = AC，AD⊥BC于点D，
∴∠ACD = ∠DAC = 45°.
∴DC = AD.
由（1），知四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE是正方形.

19. 如图,在正方形ABCD中,E是边CD的中点,AC与BE相交于点F,连接DF.
　　(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形;
　　(2)连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论;
　　(3)延长DF交BC于点M,试判断BM与MC的数量关系.(直接写出结论)
　　

答案：
（1）△ADC≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF.
（2）AE⊥DF.证明如下：如图，设AE与DF相交于点H.

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = AB，∠DAF = ∠BAF.
又AF = AF，
∴△ADF≌△ABF.
∴∠1 = ∠2.
又AD = BC，∠ADE = ∠BCE = 90°，DE = CE，
∴△ADE≌△BCE.
∴∠3 = ∠4.
∵∠2+∠4 = 90°，
∴∠1+∠3 = 90°.
∴∠AHD = 90°.
∴AE⊥DF.
（3）BM = MC.