《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

19. 以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3，4，5). 类似地，还可得到下列勾股数组：(8，6，10)，(15，8，17)，(24，10，26)等.
(1)根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明.

答案：
(1)第一组中间数为4 = 2×2，第二组中间数为6 = 2×3，第三组中间数为8 = 2×4，第四组中间数为10 = 2×5，第五组中间数为12 = 2×6，第六组中间数为14 = 2×7.
设较小的数为x，则较大的数为x + 2.
由题意，得$(x + 2)^{2}-x^{2}=14^{2}$，
解得x = 48，
∴第六组勾股数为(48，14，50).
(2)规律：中间数的规律是2n(n≥2).
设第一个数为x，第三个数为x + 2，
则$(x + 2)^{2}-x^{2}=(2n)^{2}$，解得$x = n^{2}-1$，
∴第n组勾股数为$(n^{2}-1,2n,n^{2}+1)$.
证明如下：
$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$，
$(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$，
∴$(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=(n^{2}+1)^{2}$.

20. 如图，有两只猴子在一棵树CD上高6米的点B处，他们都要到离树12米的A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树有多高？

答案： 根据题意，得AD + DB = BC + CA，且CA = 12米，BC = 6米，则AD + DB = 18米.
设DB = x米，
则AD = (18 - x)米，CD = (6 + x)米.
在Rt△ACD中，$CD^{2}+CA^{2}=AD^{2}$，
即$(6 + x)^{2}+12^{2}=(18 - x)^{2}$，解得x = 3，
∴CD = 6 + 3 = 9(米).
故这棵树的高度为9米.