《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

17. 在$B$港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东$60^{\circ}$方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到达$M$岛，乙船到达$P$岛，两船相距34海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？

答案：
如图，BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34海里.

因为16² + 30²=34²，
即BM² + BP²=MP²，所以∠MBP=90°.
又由甲船沿北偏东60°方向航行可知∠PBC=30°，即乙船沿南偏东30°方向航行.

18. 观察下列等式：
第1个等式：$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$；
第2个等式：$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$；
第3个等式：$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：____________；
(2)写出你猜想的第$n$个等式：________________________(用含$n$的式子表示)，并证明.

答案：
(1)√(1/5 - 1/25)=2/5
(2)√(1/(n + 1) - 1/(n + 1)²)=√n/(n + 1).证明如下：
由
(1)，得第n个等式为√(1/(n + 1) - 1/(n + 1)²)=√n/(n + 1)，左边=√((n + 1)/(n + 1)² - 1/(n + 1)²)=√(n/(n + 1)²)=√n/(n + 1).
∵左边=右边，
∴等式成立.

19. 阅读下面的例题：
解方程：$x^{2}-\vert x\vert - 2 = 0$.
解：①当$x\geqslant0$时，原方程化为$x^{2}-x - 2 = 0$.
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$(不合题意，舍去)；
②当$x＜0$时，原方程化为$x^{2}+x - 2 = 0$.
解得$x_{1}=1$(不合题意，舍去)，$x_{2}=-2$.
故原方程的根是$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$.
请参照例题解方程：$x^{2}-\vert x - 1\vert - 1 = 0$.

答案： ①当x≥1时，原方程化为x² - x=0.
解得x1=1，x2=0(不合题意，舍去).
②当x＜1时，原方程化为x² + x - 2=0.
解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2.
故原方程的根是x1=1，x2=-2.