《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

16. 当$x$满足条件$\begin{cases}x + 1 ＜ 3x - 1\\\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)\end{cases}$时，求方程$x^{2}-2x - 4 = 0$的根.

答案： 由$\begin{cases}x + 1＜3x - 1\\\frac{1}{2}(x - 4)＜\frac{1}{3}(x - 4)\end{cases}$，得$1＜x＜4$.
$\because x^2 - 2x - 4 = 0$，
解得$x_1 = 1+\sqrt{5},x_2 = 1-\sqrt{5}$.
$\because 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore 3＜1+\sqrt{5}＜4$，符合题意.
$\therefore x = 1+\sqrt{5}$.

17. 设$x_{1},x_{2}$为关于$x$的方程$x^{2}-2px - p = 0$的两根，$p$为实数.
(1)求证：$2px_{1}+x_{2}^{2}+3p\geqslant0$；
(2)当$|x_{1}-x_{2}|\leqslant|2p - 3|$时，求$p$的最大值.

答案：
(1)$\because x_1,x_2$为$x^2 - 2px - p = 0$的两根，
$\therefore x_1 + x_2 = 2p,x_1x_2=-p,\Delta = 4p^2 + 4p\geq0,x_2^2 - 2px_2 - p = 0$，
$\therefore 2px_1 + x_2^2 + 3p = 2px_1 + 2px_2 + p + 3p = 2p(x_1 + x_2)+4p = 4p^2 + 4p\geq0$.
(2)$|x_1 - x_2|=\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}=\sqrt{4p^2 + 4p}\leq|2p - 3|$，
即$4p^2 + 4p\leq(2p - 3)^2$，化简，得$16p\leq9$，
解得$p\leq\frac{9}{16}$，故$p$的最大值是$\frac{9}{16}$.

18. 已知实数$a,b$满足$\sqrt{a - 2}+|b + 3| = 0$，若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-ax + b = 0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值.

答案： $\because$实数$a,b$满足$\sqrt{a - 2}+|b + 3| = 0$，
$\therefore a = 2,b = - 3$.
$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax + b = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，
$\therefore x_1 + x_2 = a = 2,x_1x_2 = b = - 3$，
$\therefore\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=-\frac{2}{3}$.