《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

19. 已知下列$n$($n$为正整数)个关于$x$的一元二次方程：
①$x^2 - 1 = 0$；
②$x^2 + x - 2 = 0$；
③$x^2 + 2x - 3 = 0$；
…
ⓝ$x^2 + (n - 1)x - n = 0$.
(1)请解一元二次方程①②③ⓝ；
(2)请你指出这$n$个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.

答案：
(1)分别用因式分解法解方程,得
①$\because(x + 1)(x - 1)=0$,
$\therefore x_{1}=-1,x_{2}=1$;
②$\because(x + 2)(x - 1)=0$,
$\therefore x_{1}=-2,x_{2}=1$;
③$\because(x + 3)(x - 1)=0$,
$\therefore x_{1}=-3,x_{2}=1;\cdots$,
$\because(x + n)(x - 1)=0$,
$\therefore x_{1}=-n,x_{2}=1$.
(2)观察、比较、分析,可知共同特点为都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根,等等. (答案不唯一)

20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.
(1)若生产第$x$档次的产品一天的总利润为$y$元($x$为正整数，且$1\leq x\leq10$)，求$y$关于$x$的函数表达式；
(2)若生产第$x$档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次.

答案：
(1)$\because$第1档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件,且第$x$档次提高了$(x - 1)$档,
$\therefore y=[6 + 2(x - 1)][95 - 5(x - 1)]$,
即$y=-10x^{2}+180x + 400$(其中$x$是正整数,且$1\leqslant x\leqslant10$).
(2)由题意,得$-10x^{2}+180x + 400 = 1120$,
解得$x_{1}=6,x_{2}=12$(不合题意,舍去),
故该产品的质量档次为第6档.