《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

23. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC = 60°.
（1）求证：AB = AE；
（2）若AB/BC = m（0＜m＜1），AC = √3，连接OE.
①若m = 1/2，求平行四边形ABCD的面积；
②设S四边形OECD/S△AOD = k，试求k与m满足的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°.
∵AE平分∠BAD,
　
∴∠BAE=∠EAD=60°.
　
∴△ABE是等边三角形.
∴AB=AE.
(2)①
∵$\frac{AB}{BC}$=m=$\frac{1}{2}$
∴AB=$\frac{1}{2}$BC,
　
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$BC,
∴AE=CE.
　
∵∠ABC=60°,$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$
∴∠BAC=90°.
∵AC=4$\sqrt{3}$,
∴AB=4,
　
∴平行四边形ABCD的面积=AB·AC=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$
　　②
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴S△AOD=S△BOC,S△BOC=$\frac{1}{2}$S△BCD.
　
∵△ABE是等边三角形，
　
∴BE=AB=mBC.
　
∵△BOE的边BE上的高等于△BDC的边BC上的高的一半,底BE等于BC的m倍，设边BC上的高为h,BC的长为b，
∴S△BCD=$\frac{1}{2}$×bh=$\frac{bh}{2}$,
S△OBE=$\frac{1}{2}$×$\frac{h}{2}$×mb=$\frac{mbh}{4}$,
∴S四边形OECD=S△BCD−S△OBE=$\frac{bh}{2}$-$\frac{mbh}{4}$=($\frac{1}{2}$ - $\frac{m}{4}$)bh
∵S△AOD=$\frac{1}{2}$×$\frac{h}{2}$×b=$\frac{bh}{4}$
∴S四边形OECD/S△AOD=($\frac{1}{2}$ - $\frac{m}{4}$)bh×$\frac{4}{bh}$=k,
∴2−m=k,
∴m+k=2.