《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

21. 跨学科 自由落体运动 教材P45习题T1·变式 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间$t(s)$和高度$h(m)$近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$（不考虑阻力的影响）.
(1)求物体从40 m的高空落到地面的时间.
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）$E = 10\times$物体质量(kg)$\times$高度(m)，某质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65 J的能量）

答案：
(1)$\because t=\sqrt{\frac{h}{5}},h = 40\ m$，
$\therefore t=\sqrt{\frac{h}{5}}=\sqrt{\frac{40}{5}}=2\sqrt{2}(s)$.
(2)$\because t=\sqrt{\frac{h}{5}},t = 6\ s$，
$\therefore t^2=\frac{h}{5},\therefore h = 5t^2 = 180(m)$，
$\therefore E = 10\times0.05\times180 = 90(J)$.
$\because 90\ J＞65\ J,\therefore$对人构成伤害.
故严禁高空抛物.(言之有理即可)

22. 阅读下面内容，再解决问题.
在把多项式$m^{2}-4mn - 12n^{2}$进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：$m^{2}-4mn - 12n^{2}=m^{2}-4mn + 4n^{2}-4n^{2}-12n^{2}=(m - 2n)^{2}-16n^{2}=(m - 6n)(m + 2n)$，像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题.
(1)把多项式因式分解：$a^{2}-6ab + 5b^{2}$；
(2)已知$a,b,c$为$\triangle ABC$的三条边长，且满足$4a^{2}-4ab + 2b^{2}+3c^{2}-4b - 12c + 16 = 0$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
(1)$a^2 - 6ab + 5b^2 = a^2 - 6ab + 9b^2 - 4b^2=(a - 3b)^2-(2b)^2=(a - 3b + 2b)(a - 3b - 2b)=(a - b)(a - 5b)$.
(2)$4a^2 - 4ab + 2b^2 + 3c^2 - 4b - 12c + 16 = 0$，
配方，得$4a^2 - 4ab + b^2 + b^2 - 4b + 4 + 3c^2 - 12c + 12 = 0$，
即$(2a - b)^2+(b - 2)^2+3(c - 2)^2 = 0$，
解得$a = 1,b = 2,c = 2$，
所以$\triangle ABC$是等腰三角形.

23. 中考新考法 动点探究 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ},AB = 5$cm，$BC = 7$cm. 点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以1 cm/s的速度移动，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以2 cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动.
(1)如果$P,Q$分别从$A,B$同时出发，那么几秒后，$\triangle PBQ$的面积等于4 cm²？
(2)在(1)中，$\triangle PQB$的面积能否等于7 cm²？说明理由.

答案：
(1)设$t$秒后$\triangle PBQ$的面积等于$4\ cm^2$，则$AP = t\ cm,BP=(5 - t)\ cm,BQ = 2t\ cm$.
$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}BP\cdot BQ$，即$4=\frac{1}{2}(5 - t)\cdot2t$，
解得$t = 1$或4.
又$t\leq5,2t\leq7$，即$0＜t\leq\frac{7}{2}$，故$t = 4$舍去.
故1秒后，$\triangle PBQ$的面积等于$4\ cm^2$.
(2)不能.理由如下：
令$S_{\triangle PQB}=7$，即$BP\times\frac{BQ}{2}=7$，所以$(5 - t)\times\frac{2t}{2}=7$，整理，得$t^2 - 5t + 7 = 0$.
由于$\Delta = 25 - 28=-3＜0$，则方程没有实数根.
所以在
(1)中，$\triangle PQB$的面积不能等于$7\ cm^2$.