《2025年单元双测全优测评卷八年级数学下册沪科版》

21. 已知关于$x$的方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}=0$.
（1）当$m$取何值时，原方程没有实数根？
（2）对$m$选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和.

答案：
(1)根据题意，得b² - 4ac=[-2(m + 1)]²-4m²=4m² + 8m + 4 - 4m²=8m + 4＜0，
解得m＜-1/2.
故当m＜-1/2时，原方程没有实数根.
(2)根据题意，得b² - 4ac=[-2(m + 1)]²-4m²=4m² + 8m + 4 - 4m²=8m + 4≥0，
解得m≥-1/2，
所以当m≥-1/2时，原方程有两个实数根.
故可以取m=1，原方程为x² - 4x + 1=0，
设x1，x2是方程的两个实数根，
由一元二次方程根与系数的关系，得x1 + x2=4，x1x2=1，
故x1² + x2²=(x1 + x2)² - 2x1x2=4² - 2×1=14.(答案不唯一)

22. 下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务.
2024年10月22日 天气：晴
无理数与线段长. 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实.
回顾梳理：要在数轴上找到表示$\pm\sqrt{2}$的点，关键是在数轴上构造线段$OA = OA'=\sqrt{2}$. 如图（1），正方形的边长为1个单位长度，以原点$O$为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点$A$，$A'$，则点$A$对应的数为$\sqrt{2}$，点$A'$对应的数为$-\sqrt{2}$. 类似地，我们可以在数轴上找到表示$\pm\sqrt{5}$，$\pm\sqrt{10}$，…的点.
拓展思考：如图（2），改变图（1）中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段$OB$与$OB'$，其中$O$仍在原点，点$B$，$B'$分别在原点的右侧、左侧，可由线段$OB$与$OB'$的长得到点$B$，$B'$所表示的无理数. 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点.

任务：
（1）“拓展思考”中，线段$OB$的长为_______，$OB'$的长为_______；点$B$表示的数为_______，点$B'$表示的数为_______；
（2）请从A，B两题中任选一题作答，我选择_______题.
A. 请在图示的数轴上，画图确定表示$\pm\sqrt{10}$的点$M$，$N$；
B. 请在图示的数轴上，画图确定表示$2 - \sqrt{10}$的点$M$.

答案：

(1)1 + √2 √2 - 1 1 + √2 -√2 + 1
(2)A题：如图
(1)，点M表示的数为√10，点N表示的数为-√10.

B题：如图
(2)，点M表示的数为2 - √10.