《2025年奇迹课堂六年级数学下册人教版》

类型二 “物水共处”问题
例2 一个底面半径是10 cm的圆柱体瓶子，水深8 cm。要在瓶中放入长和宽都是8 cm、高是15 cm的一个铁块(把铁块竖放在水中)，水面会上升多少厘米？
分析：在瓶中放铁块时，要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中的，排开水的体积是8×8×15 = 960(cm³)。而现在瓶中水深是8 cm，要淹没15 cm高的铁块，则水面至少要上升15 - 8 = 7(cm)，需要排开水的体积是(3.14×10² - 8²)×7 = 1750(cm³)。而1750 cm³ ＞ 960 cm³，可知铁块是部分沉入水中，因此不能直接用排水法计算。
当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3.14×10² - 8² = 250(cm²)。水在瓶中呈现的形状变了，但体积没变，且依然是一个上下粗细一样的柱体。由此可根据h = V÷S求出水面的高度，再减去原来水面的高度即可求出水面上升的高度。
解：3.14×10²×8 = 2512(cm³)
2512÷(3.14×10² - 8²) = 10.048(cm)
10.048 - 8 = 2.048(cm)
答：水面会上升2.048 cm。
归纳总结 解决这类“物水共处”问题时，关键是抓住水的总体积不变和物体体积不变这一前提条件，并结合不同量之间的关系，判断物体是完全还是部分浸于水中，从而选择合适的体积公式进行计算和说理。

答案：

同步精练
2. 如图，在一个棱长为20 cm的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱，容器内盛有若干水时，水面恰好经过圆柱的上底面。如果将容器倒置，圆柱有8 cm露出水面。已知圆柱的底面积是正方体底面积的$\frac{1}{8}$，求实心圆柱的体积。
　　

答案： 容器倒置时的空余体积：
$20×20×(1 - \frac{1}{8})×8 = 2800(cm^{3})$
正立时水上部分长方体的高：
$2800÷(20×20) = 7(cm)$
圆柱的高：$20 - 7 = 13(cm)$
圆柱的体积：$20×20×\frac{1}{8}×13 = 650(cm^{3})$
答：实心圆柱的体积是650 cm³。