《2025年奇迹课堂六年级数学下册人教版》

类型一 倒立法求体积问题
例1 一个装了一些水的瓶子，它的瓶口部分是半径为1 cm的圆柱体，瓶身部分是半径为3 cm的圆柱体。当瓶子正立时，水面的高度为20 cm，它的平面图如图①所示；当瓶子倒立时，水面的高度为28 cm，它的平面图如图②所示。整个瓶子的高度是多少厘米？
　　　　　　　　　　
分析：因为瓶子的高度是固定的，所以图①中空白部分的高比图②中空白部分的高多28 - 20 = 8(cm)。设图②中空白部分的高为x cm，则图①中空白部分的高为(x + 8)cm，整个瓶子的高度为(x + 28)cm。因为瓶口部分是半径为1 cm的圆柱体，瓶身部分是半径为3 cm的圆柱体，根据圆柱的体积公式V = πr²h可知图①中空白部分的容积为V₁ = π×1²×(x + 8)，图②中空白部分的容积为V₂ = π×3²×x。根据两个空白部分的容积相等可得到方程π×1²×(x + 8) = π×3²×x，解方程即可。
解：设图②中空白部分的高为x cm。
π×1²×(x + 28 - 20) = π×3²×x
x = 1
28 + 1 = 29(cm)
答：整个瓶子的高度为29 cm。
归纳总结 在解决密闭容器盛水正、倒立放置的问题时，要抓住容器容积不变和水的体积不变的特性，将不易直接求解的问题转化成易求解的问题。

答案：

同步精练
1. 如图，一个透明的封闭盛水容器由一个圆柱体和一个圆锥体组成。圆柱体的底面直径和高都是10 cm，其内有一些水，正放时，水面离容器顶9 cm；倒放时，水面离顶部5 cm。这个容器的容积是多少立方厘米？
　　

答案： 解：设容器圆锥体部分的高为x cm。
由两次空的部分体积相同，得
$\frac{1}{3}S_{底}x + S_{底}(9 - x) = 5S_{底}$
$x = 6$
$3.14×(10÷2)^{2}×10 + \frac{1}{3}×3.14×(10÷2)^{2}×6 = 942(cm^{3})$
答：这个容器的容积是942 cm³。