《2025年奇迹课堂六年级数学下册人教版》

例1 (教材第30页第14题)右面这个长方形的长是20 cm，宽是10 cm。分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。它们的体积各是多少？

分析：若以长为轴旋转一周，则原长方形的宽即所得圆柱体的底面半径，长即所得圆柱体的高；若以宽为轴旋转一周，则原长方形的长即所得圆柱体的底面半径，宽即所得圆柱体的高。最后利用$V=\pi r^{2}h$求值即可。
解：以长为轴旋转一周：
$3.14×10^{2}×20 = 6280(cm^{3})$
以宽为轴旋转一周：
$3.14×20^{2}×10 = 12560(cm^{3})$
答：它们的体积分别是6280 cm³和12560 cm³。

答案：

例2 (教材第30页第15题)下面4个图形的面积都是36 dm²。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？(单位：dm)
　　　　
分析：这些图形都是长方形或正方形，长方形的长与宽不相等，所以用长方形卷成圆柱时，有两种卷法。分别求出每个图形每种卷法得到的圆柱的体积是多少，再比较大小，并结合卷法与圆柱体积的大小得出结论。
解：$C = 2\pi r\Rightarrow r=\frac{C}{2\pi} S=\pi r^{2}=\pi(\frac{C}{2\pi})^{2}=\frac{C^{2}}{4\pi} V = Sh=\frac{C^{2}h}{4\pi}$
图①：以2 dm为高：$V_{1}=\frac{18^{2}×2}{4\pi}=\frac{162}{\pi}(dm^{3})；$以18 dm为高：$V_{2}=\frac{2^{2}×18}{4\pi}=\frac{18}{\pi}(dm^{3})$
图②：以3 dm为高：$V_{3}=\frac{12^{2}×3}{4\pi}=\frac{108}{\pi}(dm^{3})；$以12 dm为高：$V_{4}=\frac{3^{2}×12}{4\pi}=\frac{27}{\pi}(dm^{3})$
图③：以4 dm为高：$V_{5}=\frac{9^{2}×4}{4\pi}=\frac{81}{\pi}(dm^{3})；$以9 dm为高：$V_{6}=\frac{4^{2}×9}{4\pi}=\frac{36}{\pi}(dm^{3})$
图④：$V_{7}=\frac{6^{2}×6}{4\pi}=\frac{54}{\pi}(dm^{3})$
$ \frac{18}{\pi}＜\frac{27}{\pi}＜\frac{36}{\pi}＜\frac{54}{\pi}＜\frac{81}{\pi}＜\frac{108}{\pi}＜\frac{162}{\pi}$
由此可知,第一个图形以2dm为高卷成的圆柱体积最大,同样也是这个图形以18 dm为高卷成的圆柱体积最小。由此可以发现:侧面积相等的圆柱,高越小,体积越大;高越大,体积越小。

答案：