《2025年优化探究同步导学案高中物理必修第一册人教版》

[例$2$] 小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第$5$滴正欲滴下时，第$1$滴刚好落到地面，而第$3$滴与第$2$滴分别位于高$1\ {m}$的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落同自家房子的关系，其中点$2$和点$3$之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，$g$取$10\ {m/s^{2}}$，则：(尝试用多种方法求解)

(1)滴水的时间间隔是多少?
(2)此屋檐离地面多高?
[课堂笔记]

答案： [例2] [答案]
(1)0.2 s
(2)3.2 m
[解析] 方法一：公式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水时间间隔为T。
由公式$h = \frac{1}{2}gt^{2}$得
第2滴雨滴下落的位移$h_{2} = \frac{1}{2}g(3T)^{2}$，
第3滴雨滴下落的位移$h_{3} = \frac{1}{2}g(2T)^{2}$，
且$h_{2} - h_{3} = 1m$，
解得$T = 0.2s$。
(2)屋檐离地面高度$h = \frac{1}{2}g(4T)^{2} = 3.2m$。
方法二：比例法
(1)
(2)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为$1:3:5:·s:(2n - 1)$，所以相邻两雨滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，
由题意知，窗高为5s，则$5s = 1m$，$s = 0.2m$，
屋檐离地面高度$h = s + 3s + 5s + 7s = 16s = 3.2m$。
由$h = \frac{1}{2}gt^{2}$得滴水的时间间隔$T = \sqrt{\frac{2s}{g}} = 0.2s$。
方法三：平均速度法
(1)设滴水时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为$\overline{v} = \frac{h}{T}$，其中$h = 1m$。
雨滴在2.5T时的速度$v_{2.5} = 2.5gT$，
由于$v_{2.5} = \overline{v}$，所以$\frac{h}{T} = 2.5gT$，解得$T = 0.2s$。
(2)屋檐离地面高度$H = \frac{1}{2}g(4T)^{2} = 3.2m$。
方法四：速度与位移关系法
(1)设滴水时间间隔为T，则第2滴水滴的速度$v_{2} = g·3T$，
第3滴水滴的速度$v_{3} = g·2T$，
由$v^{2}-v_{0}^{2} = 2ax$得$v_{2}^{2}-v_{3}^{2} = 2gh$，其中$h = 1m$，
解得$T = 0.2s$。
(2)第1滴水滴的速度$v = g·4T = 8m/s$
屋檐离地面的高度$H = \frac{v^{2}}{2g} = 3.2m$。

[例$3$] 如图所示，竖直悬挂的直杆$AB$长为$a$，在$B$端以下$h$处有一高为$b$的无底圆柱筒$CD$，圆柱筒的直径远大于直杆的直径。不计一切阻力。若将悬线剪断，重力加速度为$g$，求：

(1)直杆$B$端穿过圆柱筒的时间；
(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间。
[课堂笔记]

答案： [例3] [答案]
(1)$\sqrt{\frac{2(h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$
(2)$\sqrt{\frac{2(h + a + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$
[解析]
(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到B端下落到D点的时间。
由$x = \frac{1}{2}gt^{2}$得$t = \sqrt{\frac{2x}{g}}$
则B端下落到C点所需时间$t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
B端下落到D点所需时间$t_{2} = \sqrt{\frac{2(h + b)}{g}}$
则直杆B端穿过圆柱筒的时间是
$\Delta t_{1} = t_{2} - t_{1} = \sqrt{\frac{2(h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$。
(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到A端下落到D点的时间。
A端下落到D点所需时间$t_{3} = \sqrt{\frac{2(a + h + b)}{g}}$
可得整个直杆穿过圆柱筒的时间是
$\Delta t_{2} = t_{3} - t_{1} = \sqrt{\frac{2(h + a + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$。