《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

23. （8分）我们规定：在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“$ M $点”。如 $ P ( 2, - 2 ) $ 就是“$ M $点”。
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“$ M $点”；
（2）已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - m x - 3 $。
① 求证：该函数图象上一定存在两个“$ M $点”；
② 若这两个“$ M $点”的横坐标分别是 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $，且 $ x _ { 1 } ＜ 1 ＜ x _ { 2 } $，求 $ m $ 的取值范围。

答案： 23.
(1)解:由题知，这个二次函数表达式可以是$y = x^2$(答案不唯一).
(2)①证明:由“$M$点”的定义可知，“$M$点”坐标为$(x,-x)$，将$(x,-x)$代入$y = x^2 - mx - 3$，得$x^2 - mx - 3=-x$，则$x^2+(1 - m)x - 3 = 0$.
∵$\Delta=(1 - m)^2 - 4×1×(-3)=(m - 1)^2 + 12＞0$，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“$M$点”.
②解:
∵这两个“$M$点”的横坐标分别是$x_1$，$x_2$，且$x_1＜1＜x_2$，
∴$(x_1 - 1)(x_2 - 1)＜0$，即$x_1x_2-(x_1 + x_2)+1＜0$.由$x^2+(1 - m)x - 3 = 0$，得$x_1 + x_2=m - 1$，$x_1x_2=-3$，所以$-3-(m - 1)+1＜0$，解得$m＞-1$，所以$m$的取值范围是$m＞-1$.

24. （8分）如图1，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ A C = B C $，点 $ D $，$ E $ 分别在 $ AB $，$ BC $ 边上，且 $ \angle C D E = 45 ^ { \circ } $。经过点 $ C $，$ D $，$ E $ 的 $ \odot O $ 分别交 $ AC $，$ AB $ 边于点 $ F $，$ G $，连结 $ DF $。
（1）求证：$ C F = C E $；
（2）若 $ A B = 6 \sqrt { 2 } $，$ D F = 2 D E $，求 $ C E $ 的长；
（3）如图2，连结 $ CG $，若 $ C G // D E $，请直接写出 $ \frac { C E } { B E } $ 的值。

答案：
24.
(1)证明:如图，连结$EF$，
　　　　　　　　
∵$\angle CDE = 45^{\circ}$，$\angle CDE=\angle CFE$，
∴$\angle CFE = 45^{\circ}$，
∵$\angle ECF = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ECF$是等腰直角三角形，
∴$CF = CE$.
(2)解:如图，
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，
∴$AB=\sqrt{2}AC$，
∵$AB = 6\sqrt{2}$，
∴$AC = BC = 6$，设$DE = a$，则$DF = 2a$，
∵$\angle ECF = 90^{\circ}$，
∴$EF$是$\odot O$的直径，
∴$\angle FDE = 90^{\circ}$，
∴$EF=\sqrt{5}a$，
∵$\triangle ECF$是等腰直角三角形，
∴$CE = CF=\frac{\sqrt{5}a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}a$，
∵$C$，$F$，$D$，$E$四点共圆，
∴$\angle CFD+\angle CED = 180^{\circ}$，
∵$\angle AFD+\angle CFD = 180^{\circ}$，
∴$\angle AFD=\angle CED$，
∵$\angle A=\angle CDE = 45^{\circ}$，
∴$\triangle AFD∽\triangle DEC$，
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{DF}{CE}$，即$\frac{6-\frac{\sqrt{10}}{2}a}{a}=\frac{2a}{\frac{\sqrt{10}}{2}a}$，
∴$a=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，经检验：$a=\frac{2\sqrt{10}}{3}$是原方程的解，
∴$CE=\frac{\sqrt{10}}{2}a=\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{2\sqrt{10}}{3}=\frac{10}{3}$.
(3)解:
∵$C$，$G$，$D$，$E$四点共圆，
∴$\angle BED=\angle CGD$，
∵$CG// DE$，
∴$\angle BDE=\angle CGD$，$CE = DG$，
∴$\angle BED=\angle BDE$，$CE = DG$，
∴$BD = BE$，
∴$CE + BE=DG + BD$，即$BC = BG = AC$，设$AC = BC = y$，则$AB=\sqrt{2}y$，
∴$AG = AB - BG=\sqrt{2}y - y=(\sqrt{2}-1)y$，由
(2)知$\triangle AFD∽\triangle DEC$，
∴$\angle ADF=\angle DCE$，
∵$\angle ACG=\angle ADF$