《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

20. （8分）宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度。无人机的起飞点为地面上的点$O$处，点$O$与办公楼的水平距离$OA$为100m，与宁波中心大厦的水平距离$OB$为260m。无人机先从点$O$处垂直起飞，到高度为89米的$P$处时，沿与地面平行方向水平飞行到点$Q$，此时测得办公楼顶部$C$的仰角$\angle CQE$为$58^{\circ}$，宁波中心大厦顶部$D$的仰角$\angle DQE$也为$58^{\circ}$。已知办公楼$AC$的高度是153m。
（1）求从点$P$飞行到点$Q$的水平距离；
（2）求宁波中心大厦的高度。
（参考数据：$\sin58^{\circ}\approx0.85$，$\cos58^{\circ}\approx0.53$，$\tan58^{\circ}\approx1.60$）

答案：
20.解：
(1)由题意，得$OP \perp OA$，$CA \perp OA$，$PE \perp OP$，$PE \perp CA$（此处疑似解析中存在笔误，应为QE⊥CA），
∴四边形$OAEP$为矩形，
∴$AE = OP = 89\ m$，
在$Rt\triangle CQE$中，
∵$\angle CQE = 58^{\circ}$，$CE = AC - AE = AC - OP = 64\ m$，
∴$QE = \frac{CE}{\tan 58^{\circ}} = 40\ m$.
∴$PQ = PE - QE = OA - QE = 100 - 40 = 60(m)$.
(2)如图，延长$PQ$交$BD$于点$F$，

由条件可知四边形$OBFP$为矩形，
∴$BF = OP = 89\ m$.
由题意，知$Q$，$C$，$D$三点共线，在$Rt\triangle QFD$中，$\angle DQF = 58^{\circ}$，$QF = PF - PQ = 200(m)$，
∴$DF = QF \tan 58^{\circ} = 320(m)$，
∴$BD = DF + FB = 409(m)$.

21. （8分）如图，$AB$是$\odot O$的弦，分别以点$A$，$B$为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点$C$，连结$OC$并延长交$\odot O$于点$D$，连结$OA$，$OB$。
（1）求证：$\angle AOD = \angle BOD$；
（2）若$\angle AOD:\angle AOB = 3:2$，$AB = 4\sqrt{2}$，$CD = OC$，求$CD$的长。

答案：
21.解：
(1)如图，连结$AC$，$BC$，

由条件可知$AC = BC$，
又
∵$AO = BO$，$OC = OC$，
∴$\triangle AOC \cong \triangle BOC(SSS)$，
∴$\angle AOD = \angle BOD$.
(2)由条件可知$\angle AOD = \angle BOD = \frac{3}{2}\angle AOB$，
∵$\angle AOB + \angle AOD + \angle BOD = 360^{\circ}$，
∴$\angle AOB + \frac{3}{2}\angle AOB + \frac{3}{2}\angle AOB = 360^{\circ}$，解得$\angle AOB = 90^{\circ}$，
∵$AO = BO$，
∴$\triangle AOB$为等腰直角三角形.
∴$AO^{2}+BO^{2}=AB^{2}=32$，
∴$AO = BO = 4$，
∵$CD = OC$，
∴$CD = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}OA = 2$.