《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

20. （8分）如图，已知 $ \odot O $ 的半径为2，弦 $ CD \perp $ 直径 $ AB $，垂足为 $ E $，点 $ F $ 在 $ \overset{\frown}{AC} $ 上（不与点 $ A $，$ C $ 重合），连结 $ AF $，$ AC $，$ AD $，$ FC $。
（1）求证：$ AC = AD $；
（2）若 $ \angle AFC = \frac{5}{3} \angle ACD $。
① 求 $ \angle ACD $ 的度数；
② 当 $ FC // AD $ 时，求 $ \overset{\frown}{AF} $ 的长。

答案：
20.
(1)证明：$\because$弦$CD\perp$直径$AB$，$\therefore$点$A$平分$\overset\frown{CAD}$，即$\overset\frown{AC}=\overset\frown{AD}$，$\therefore AC=AD$.
(2)解：①$\because$四边形$AFCD$内接于$\odot O$，$\therefore\angle AFC+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\because AC=AD$，$\therefore\angle ACD=\angle ADC$，$\therefore\angle AFC=\frac{5}{3}\angle ACD=\frac{5}{3}\angle ADC$，由上可得$\angle ADC=67.5^{\circ}$，$\therefore\angle ACD=67.5^{\circ}$.
②连结$OC$，$OD$，如图，

$\because\angle ADC=\angle ACD=67.5^{\circ}$，$\therefore\angle CAD=180^{\circ}-2×67.5^{\circ}=45^{\circ}$，$\therefore\angle COD=90^{\circ}$，
$\because FC// AD$，$\therefore\angle AFC+\angle DAF=180^{\circ}$，$\therefore\angle DAF=\angle ADC$，$\overset\frown{AF}=\overset\frown{CD}$.
$\because CD$的长为$\frac{90\pi×2}{180}=\pi$，$\therefore\overset\frown{AF}$的长为$\pi$.

21. （8分）在平面直角坐标系中，设二次函数的表达式为 $ y = x^2 + (k + 1)x - (k + 2) $。
（1）若函数 $ y $ 的图象过点 $ (2, 0) $，求 $ k $ 的值；
（2）若函数 $ y $ 的图象的对称轴是 $ y $ 轴，求 $ k $ 的值；
（3）当 $ x ＜ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，说明函数 $ y $ 的图象过点 $ (3, 0) $。

答案： 21.解：
(1)由题意，$\because$函数$y$的图象过点$(2,0)$，$\therefore4 + 2(k + 1)-(k + 2)=0$，$\therefore k=-4$.
(2)由题意，$\because$函数$y$的图象的对称轴是$y$轴，$\therefore-\frac{k + 1}{2}=0$，$\therefore k=-1$.
(3)由题意，$\because$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x = 2$，$\therefore-\frac{k + 1}{2}=2$，$\therefore k=-5$，$\therefore$抛物线的表达式为$y=x^{2}-4x + 3$，$\therefore$当$x = 3$时，$y=3^{2}-4×3 + 3 = 0$，$\therefore$函数$y$的图象过点$(3,0)$.