《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

13. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，$\angle ABC$的平分线交边$AC$于点$D$，延长$BD$至点$E$，且$BD = 2DE$，连结$AE$。

(1) 求线段$CD$的长；
(2) 求$\triangle ADE$的面积。

答案：
13.解:
(1)过点$D$作$DH \perp AB$，垂足为$H$，设$CD = x$，
　　$\because BD$平分$\angle ABC,\angle C = 90°$，
　　$\therefore DH = DC = x$，
　　则$AD = 3 - x$.
　　$\because \angle C = 90°,AC = 3,BC = 4$，
　　$\therefore AB = 5$，
　　$\because \sin\angle BAC = \frac{HD}{AD} = \frac{BC}{AB}$，
　　　　　　　　　　　　　　
　　$\therefore \frac{x}{3 - x} = \frac{4}{5}$，
　　$\therefore x = \frac{4}{3}$，即$CD = \frac{4}{3}$.
(2)$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB · DH = \frac{1}{2} × 5 × \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$，
　　$\because BD = 2DE$，
　　$\therefore \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADE}} = \frac{BD}{DE} = 2$，
　　$\therefore S_{\triangle ADE} = \frac{10}{3} × \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$.