《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

21. 如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA=3，PB=2，PC=1。将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP'，连结AP'，PP'。
（1）求证：△PBC≌△P'BA；
（2）求∠BPC的度数。

答案： 21.
(1)证明:
∵在正方形ABCD内有一点P,PA=3,PB=
　　2,PC=1,线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP',
∴BP'=BP,BA=BC,∠P'BA=∠PBC,
∴△PBC≌△P'BA(SAS).
(2)解:
∵△PBC≌△P'BA,
∴P'A=PC=1,又$PP'=\sqrt{2}PB=2\sqrt{2}$
∴$P'A^{2}+P'P^{2}=1+8=3^{2}=PA^{2}$，
∴∠AP'P=90°,
∴∠BPC=∠AP'B=90°+45°=135°.

22. 关于x的一元二次方程$ax^{2} + \sqrt{2}cx + b = 0$，如果a，b，c满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$且a≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）判断方程$x^{2} + 2x + 1 = 0$是不是“勾系一元二次方程”，并说明理由；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2} + \sqrt{2}cx + b = 0$必有实数根；
（3）如图，已知AB，CD是半径为8的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，且关于x的方程$ax^{2} + 8\sqrt{2}x + b = 0$是“勾系一元二次方程”，则∠BAC的度数为45°。

答案：
22.
(1)解:方程$x^{2}+2x+1=0$是“勾系一元二次方程”，理由如下:
　$x^{2}+2x+1=0$，
　由题意知：$a=1$，$b=1$，$c=\sqrt{2}$，
　满足$1^{2}+1^{2}=(\sqrt{2})^{2}$且$1\neq0$，
　故方程$x^{2}+2x+1=0$是“勾系一元二次方程”
(2)证明:
∵$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$是“勾系一元二次方程”，
∴$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
∵$(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2a^{2}+2b^{2}-4ab=2(a-b)^{2}\geq0$，
∴$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(3)解:连结OC,OB,作OE⊥CD于E,EO的延长线交
AB于F.
　　　　　　　　　
∵关于$x$的方程$ax^{2}+8\sqrt{2}x+b=0$是“勾系一元二次方程”，
∴$a^{2}+b^{2}=8^{2}$，
∵AB//CD,OE⊥CD,
∴OF⊥AB,
∴∠OEC=∠OFB=90°,
∴$CE^{2}+OE^{2}=OC^{2}$，$OF^{2}+BF^{2}=OB^{2}$，$DE=EC=b$，$BF=AF=a$，
∵OC=OB=8,
∴$OE=\sqrt{OC^{2}-EC^{2}}=\sqrt{8^{2}-b^{2}}=a$，$OF=\sqrt{OB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{8^{2}-a^{2}}=b$，
∴CE=OF,OE=BF,
∴△OEC≌△BFO(SSS),
∴∠EOC=∠OBF,
∵∠OBF+∠BOF=90°,
∴∠EOC+∠BOF=90°,
∴∠COB=90°,
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠COB=45°.
　故答案为45.