《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

18. （8分）如图，点 $ E $，$ F $ 分别在矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB $，$ CD $ 上，连结 $ EF $，交对角线 $ AC $ 于点 $ G $，$ EF // AD $。
（1）求证：$ \triangle CFG \sim \triangle ABC $；
（2）若 $ CF = 2 $，$ FD = 4 $，$ AD = 3 $，求 $ CG $ 的长。

答案： 18.
(1)证明：$\because EF// AD$，$\therefore\angle CFG=\angle D$.
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle D=\angle B$，$CD// AB$，$\therefore\angle CFG=\angle B$，$\angle FCG=\angle BAC$，$\therefore\triangle CFG\backsim\triangle ABC$.
(2)解：$\because CF=2$，$FD=4$，$AD=3$，$\therefore CD=CF + FD = 2 + 4 = 6$.
$\because\angle D=90^{\circ}$，$\therefore CA=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3\sqrt{5}$.
$\because GF// AD$，$\therefore\triangle CFG\backsim\triangle CDA$，$\therefore\frac{CG}{CA}=\frac{CF}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\therefore CG=\frac{1}{3}CA=\frac{1}{3}×3\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$\therefore CG$的长是$\sqrt{5}$.

19. （8分）一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数。
（1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率 $ P_1 $；
（2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率 $ P_2 $（用画树状图法或列表法）。

答案： 19.解：
(1)投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率$P_{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种结果，所以两次正面向上的点数之和是偶数的概率$P_{2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.