《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

21. (8分)糖炒板栗是深受大家喜爱的小吃。已知糖炒板栗每斤(斤：我国市制质量单位)成本大约为10元。某店家试销阶段每斤的销售价$x$(元)与糖炒板栗日销售量$y$(斤)之间的关系如表：

若日销售量$y$是销售价$x$的一次函数，试求：
(1)日销售量$y$(斤)与销售价$x$(元)的函数关系式；
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润$w$最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

答案： 21.解：
(1)设$y = kx + b$，把$(15,100)$，$(20,80)$代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}100 = 15k + b\\80 = 20k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -4\\b = 160\end{cases}$，$\therefore y = -4x + 160$.
(2)由题意，得$w = y(x - 10)=(-4x + 160)(x - 10)=-4x^2 + 200x - 1600=-4(x - 25)^2 + 900$，$\because a = -4 ＜ 0$，$\therefore$当$x = 25$时，$w_{最大}=900$元，$\therefore$每斤的销售价应定为$25$元，每日销售的最大利润是$900$元.

22. (10分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现代所用指南针的始祖(如图1)。司南中心为一圆形，圆心为点$O$，直径为20cm，根据八个方位将圆形八等分(图2中的点$A \sim H$)，连结$DG$，$BH$并延长交于点$P$。
(1)点$P$位于点$D$的北偏东67.5°的方向上；
(2)求$PH$的长；
(3)连结$BG$，比较线段$BG$与$PH$大小。(写出你作出判断的理由)

答案：
22.解：
(1)如图1，连结$OB$，$OG$，$BD$，

$\because$八个方位将圆形八等分，$\therefore \stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{AH}=\stackrel\frown{GH}=\frac{360°}{8}=45°$，$\therefore \angle BOG = 45° × 3 = 135°$，$\therefore \angle BDP=\frac{1}{2}\angle BOG = 67.5°$，即点$P$位于点$D$的北偏东$67.5°$的方向上，故答案为$67.5°$.
(2)如图2，连结$BD$，$DH$，则$DH$为直径，

$\therefore \angle B = 90°$，$DH = 20 cm$，由
(1)知$\angle BDP = 67.5°$，$\therefore \angle P = 90° - 67.5° = 22.5°$.$\because HG$所对的圆心角为$45°$，$\therefore \angle HDG=\frac{1}{2} × 45° = 22.5°$，$\therefore PH = DH = 20 cm$.
(3)$PH＞BG$.理由如下：如图3，连结$OG$，$BF$，过点$G$作$GM \perp BF$交$BF$于点$M$，

$\because \angle GOM = 45°$，$OG = 10 cm$，$\therefore GM = OM = 5\sqrt{2} cm$，$\therefore BM = OB + OM = (10 + 5\sqrt{2}) cm$，在$Rt\triangle BGM$中，$BG^2 = BM^2 + GM^2 = 200 + 100\sqrt{2}＜400$，$\because PH^2 = 400$，$\therefore PH^2＞BG^2$，故$PH＞BG$.