《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

9. 图 1 是捣谷物的“碓”,图 2 是其示意图,O 为转动支点,$CD\perp AB$于点 B,AB 与水平线 MN 夹角$\angle BOM = 30^{\circ}$,$BC = 40\ cm$,$OB = 120\ cm$,$OA = 40\ cm$.当点 C 绕点 O 旋转下落到 MN 上时,点 A 上升(D)

A.$2\sqrt{10}\ cm$
B.$(20 - 2\sqrt{10})\ cm$
C.$4\sqrt{10}\ cm$
D.$(20 - 4\sqrt{10})\ cm$

答案：
9.D 解析：将$\triangle OBC$和$OA$绕点O旋转到$\triangle OB^{\prime}C^{\prime}$和$OA^{\prime}$，使点C的对应点为$C^{\prime}$落在$OM$上，

设点A上升的高度为h，过点B作$BF\perp MN$于点F，过$B^{\prime}$作$B^{\prime}E\perp MN$于点E，$B^{\prime}G\perp BF$于点G，
则四边形$B^{\prime}EFG$是矩形，$\therefore FG = B^{\prime}E$，
$\because \angle BOM = 30^{\circ},OB = 120$cm，
$\therefore BF = \frac{1}{2}OB = 60$cm.
$\because CD\perp AB$于点B，$BC = 40$cm，
$\therefore OC = \sqrt{OB^{2}+BC^{2}} = 40\sqrt{10}$cm，
$\therefore OC^{\prime} = 40\sqrt{10}$cm.
$\because \angle OB^{\prime}C^{\prime} = \angle OBC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle OB^{\prime}C^{\prime} = \angle OEB^{\prime} = 90^{\circ}$.
$\because \angle B^{\prime}OC^{\prime} = \angle EOB^{\prime}$，$\therefore \triangle OEB^{\prime}\backsim \triangle OB^{\prime}C^{\prime}$.
$\therefore \frac{B^{\prime}E}{B^{\prime}C^{\prime}}=\frac{OB^{\prime}}{OC^{\prime}}$，
$\because B^{\prime}C^{\prime} = BC = 40$cm，$OB^{\prime} = OB = 120$cm，
$\therefore \frac{B^{\prime}E}{40}=\frac{120}{40\sqrt{10}}$
$\therefore B^{\prime}E = 12\sqrt{10}$cm，$\therefore FG = 12\sqrt{10}$cm，
$\therefore BG = BF - FG=(60 - 12\sqrt{10})$cm，
$\because \frac{h}{BG}=\frac{OA}{OB}$，$OA = 40$cm，
$\therefore h=(20 - 4\sqrt{10})$cm.
故选：D.

10. 已知二次函数$y = - 3x^{2}+9$.当$-2\leqslant x\leqslant n$时,函数的最大值与最小值的差为 12,则 n 的取值范围是(B)

A.$-\sqrt{3}\leqslant n\leqslant 0$
B.$0\leqslant n\leqslant 2$
C.$-\sqrt{3}\leqslant n\leqslant 2$
D.$\sqrt{3}\leqslant n\leqslant \sqrt{7}$

答案： 10.B 解析：由条件可知，抛物线在对称轴左侧，y的值随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的增大而减小.
①当$n ＜ 0$时，当$-2\leqslant x\leqslant n$时，y随x的增大而增大，那么$x = - 2$时取得最小值，$x = n$时取得最大值，最小值为$-3$，最大值为$-3n^{2}+9$，则可列出方程：$-3n^{2}+9 + 3 = 12$，解得$n = 0$，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当$0\leqslant n\leqslant2$时，此时$x = 0$时取得最大值，$x = - 2$时取得最小值，最大值为9，最小值为$-3$，此时最大值与最小值的差为12，符合题意；
③当$n ＞ 2$时，此时$x = 0$时取得最大值，$x = n$时取得最小值，最大值为9，最小值为$-3n^{2}+9$，已知最大值与最小值的差为12，则$9 + 3n^{2}-9 = 12$，解得$n_{1}=-2,n_{2}=2$，但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去.
$\therefore$综上，n的取值范围为$0\leqslant n\leqslant2$.故选：B.

11. 抛物线$y = ax^{2}+x + 1$的开口向下,则 a 的值可以取-1.(写出一个即可)

答案： 11.$-1$（答案不唯一） 解析：由条件可知$a ＜ 0$，不妨取$a = - 1$.
故答案为$-1$（答案不唯一）.

12. 若扇形的圆心角为$90^{\circ}$,半径为 2,则它的弧长为π.(结果保留$\pi$)

答案： 12.$\pi$ 解析：因为扇形的圆心角为$90^{\circ}$，半径为2，所以它的弧长为$\frac{90×\pi×2}{180}=\pi$.
故答案为$\pi$.

13. 一根排水管的截面如图所示.已知排水管的半径$OB = 13\ cm$,水面宽$AB = 24\ cm$,则截面圆心 O 到水面的距离 OC 为5cm.

答案： 13.5 解析：由题意可得$BC = AC = \frac{1}{2}AB = 12$cm，
$\therefore OC = \sqrt{OB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$cm.
故答案为5.

14. 如图,在半径为 3 的$\odot O$上,以 3 为半径依次截取六个点,并连结得六边形 ABCDEF,连结 AC,CE,则四边形 ACEF 的面积是9√3.

答案： 14.$9\sqrt{3}$ 解析：四边形ACEF的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×3^{2}×(6 - 2)=9\sqrt{3}$.
故答案为$9\sqrt{3}$.

15. 若抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点$(1,0)$,$(3,0)$,则 b 的值为-4.

答案： 15.$-4$ 解析：抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点$(1,0),(3,0)$，
$\therefore$抛物线对称轴为直线$x = 2$，$\therefore -\frac{b}{2}=2$，则$b = - 4$.
故答案为$-4$.

16. 某大门是轴对称图形,由矩形与哥特式尖拱组成(如图 1),图 2 是其设计图,尖拱部分是两条等弧,圆心均落在直线 AB 上,圆弧的半径为$\frac{13}{4}$米,$CD = 4$米.过拱尖 P 作$PN\perp CD$分别交 AB,CD 于点 M,N.若$\frac{PM}{MN}=\frac{3}{5}$,则高 PN 等于8米.

答案：
16.8 解析：设$\overset{\frown}{AP}$的圆心为O，连结PO，则$OA = OP = \frac{13}{4}$米，
$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore AB = CD = 4$米，由轴对称知，$AM = BM = \frac{1}{2}AB = 2$米，
$\therefore OM = OA - AM=\frac{5}{4}$米.
$\because PM\perp AB$，$\therefore \angle PMO = 90^{\circ}$，$\therefore PM = \sqrt{OP^{2}-OM^{2}} = 3$米.
$\because \frac{PM}{MN}=\frac{3}{5}$，$\therefore MN = 5$米，$\therefore PN = 8$米.
故答案为8.