《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

19. 已知抛物线$y=x^{2}-(m-3)x-m$。求证：无论$m$为何值时，抛物线与$x$轴总有两个交点。

答案： 19.证明:a=1,b=−(m−3),c=−m,
　b²−4ac=(m−3)²+4m
　　=m²−2m+9
　　=(m−1)²+8.
∵(m−1)²≥0,
∴b²−4ac＞0,
∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点.

20. 新定义：$[a,b,c]$为二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0,a,b,c$为实数)的“图象数”，如：$y=-x^{2}+2x+3$的“图象数”为$[-1,2,3]$
(1)二次函数$y=\frac{1}{3}x^{2}-x-1$的“图象数”为[$\frac{1}{3}$,-1,-1]；
(2)若“图象数”是$[m,m+1,m+1]$的二次函数的图象与$x$轴只有一个交点，求$m$的值。

答案： 20.解:
(1)二次函数y=$\frac{1}{3}$x²−x−1的“图象数”为[$\frac{1}{3}$,−1,−1];
　故答案为[$\frac{1}{3}$,−1,−1].
(2)二次函数的表达式为y=mx²+(m+1)x+m+1,
　根据题意,得b²−4ac=(m+1)²−4m(m+1)=0,
　解得m₁=−1,m₂=$\frac{1}{3}$.