《2025年领智优选浙江期末复习卷九年级数学全一册浙教版》

24. (1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在$\triangle ABC$中，点$O$在线段$BC$上，$\angle BAO = 30^{\circ}$，$\angle OAC = 75^{\circ}$，$AO = 3\sqrt{3}$，$BO:CO = 1:3$，求$AB$的长。
经过社团成员讨论发现，过点$B$作$BD // AC$，交$AO$的延长线于点$D$，通过构造$\triangle ABD$就可以解决问题(如图2)。
请回答：$\angle ADB =$75$^{\circ}$，$AB =$4\sqrt{3}；
(2)请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$AC \perp AD$，$AO = 3\sqrt{3}$，$\angle ABC = \angle ACB = 75^{\circ}$，$BO:OD = 1:3$，求$DC$的长。

答案：
24.解:
(1)
∵BD//AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°。
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$。
　　又
∵AO=$3\sqrt{3}$，
∴$OD=\frac{1}{3}AO=\sqrt{3}$，
∴$AD=AO+OD=4\sqrt{3}$。
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°−∠BAD−∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=$4\sqrt{3}$。
　　故答案为75，$4\sqrt{3}$。
(2)过点B作BE//AD交AC于点E，如图所示。
∵AC⊥AD，BE//AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°。
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴$\frac{BO}{DO}$=$\frac{EO}{AO}$=$\frac{BE}{DA}$。
∵BO:OD=1:3，
∴$\frac{EO}{AO}$=$\frac{BE}{DA}$=$\frac{1}{3}$。
　　　　　　　　　　　　　
∵AO=$3\sqrt{3}$，
∴$EO=\sqrt{3}$，
∴$AE=4\sqrt{3}$。
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE。
在Rt△AEB中，$AE^2+BE^2=AB^2$，
即$(4\sqrt{3})^2+BE^2=(2BE)^2$，
解得BE=4，
∴AB=AC=8，AD=12。
在Rt△CAD中，$AC^2+AD^2=CD^2$，即$8^2+12^2=CD^2$，解得$CD=4\sqrt{13}$。