《2025年金版学案同步优学智慧作业七年级数学上册人教版》

9. 先合并同类项,再求值：
(1)已知多项式$3x^{3} - 1 - 3x - 5 + 4x - 2x^{3}$,其中$x = 2$；
(2)已知多项式$3x^{2}y^{3} + 2xy - 7x^{2}y^{3} - \frac{3}{2}xy + 2 + 4x^{2}y^{2}$,其中$x = -2$,$y = 1$.

答案： $(1)$
解：
- **步骤一：合并同类项
$\begin{aligned}&3x^{3}-1 - 3x - 5 + 4x - 2x^{3}\\=&(3x^{3}-2x^{3})+(4x - 3x)+(-1 - 5)\\=&x^{3}+x - 6\end{aligned}$
- **步骤二：代入求值
当$x = 2$时，$x^{3}+x - 6=2^{3}+2 - 6$
$=8 + 2 - 6$
$=4$
$(2)$
解：
- **步骤一：合并同类项
$\begin{aligned}&3x^{2}y^{3}+2xy - 7x^{2}y^{3}-\frac{3}{2}xy + 2 + 4x^{2}y^{2}\\=&(3x^{2}y^{3}-7x^{2}y^{3})+(2xy-\frac{3}{2}xy)+4x^{2}y^{2}+2\\=&-4x^{2}y^{3}+\frac{1}{2}xy + 4x^{2}y^{2}+2\end{aligned}$
- **步骤二：代入求值
当$x = -2$，$y = 1$时，
$\begin{aligned}&-4x^{2}y^{3}+\frac{1}{2}xy + 4x^{2}y^{2}+2\\=&-4×(-2)^{2}×1^{3}+\frac{1}{2}×(-2)×1 + 4×(-2)^{2}×1^{2}+2\\=&-4×4×1 - 1 + 4×4×1+2\\=&-16 - 1 + 16 + 2\\=&1\end{aligned}$
综上，$(1)$的值为$\boldsymbol{4}$；$(2)$的值为$\boldsymbol{1}$。

10. 为了改善业主的居住环境,在某居民区的建设中,因地制宜规划修建一个草坪(图中阴影部分).

(1)用字母表示图中阴影部分的面积(写出化简后的结果)；
(2)若$a = 3$,$b = 6$,计算阴影部分的面积($\pi取3$).

答案： （1）
解：
长方形的面积$S_{长方形}=ab$。
四分之一圆的面积$S_{四分之一圆}=\frac{1}{4}\pi a^{2}$，半圆的面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{1}{8}\pi a^{2}$。
则阴影部分面积$S = ab-\frac{1}{4}\pi a^{2}-\frac{1}{8}\pi a^{2}$。
合并同类项：$S = ab-(\frac{1}{4}\pi a^{2}+\frac{1}{8}\pi a^{2})=ab - \frac{2\pi a^{2}+\pi a^{2}}{8}=ab-\frac{3}{8}\pi a^{2}$。
（2）
解：
当$a = 3$，$b = 6$，$\pi = 3$时。
把值代入$S = ab-\frac{3}{8}\pi a^{2}$中，得到$S=3×6-\frac{3}{8}×3×3^{2}$。
先计算乘法：$3×6 = 18$，$\frac{3}{8}×3×9=\frac{81}{8}$。
再计算减法：$S = 18-\frac{81}{8}=\frac{144 - 81}{8}=\frac{63}{8}$