《2025年金版学案同步优学智慧作业七年级数学上册人教版》

6. 定义新运算：$a☆b = ab^{2}+a$,例如$-2☆3 = (-2)×3^{2}+(-2)= -20$,则$3☆(-1)= ( )$.
6
A.$2$
B.$-4$
C.$4$
D.$6$

答案： 6.D
【解析】根据题中的新定义得:$3☆(-1)=3×(-1)^{2}+3=6$.故选D.

7. (1)计算下面两组算式：
①$(3×5)^{2}与3^{2}×5^{2}$；
②$[(-2)×3]^{2}与(-2)^{2}×3^{2}$.
(2)根据以上计算结果猜想：$(ab)^{3}$等于什么？
(3)猜想与验证：当$n$为正整数时,$(ab)^{n}$等于什么？请你利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$的值.

答案： 7.【解】
(1)①$(3×5)^{2}=15^{2}=225,3^{2}×5^{2}=9×25=225.$
②$[(-2)×3]^{2}=(-6)^{2}=36,(-2)^{2}×3^{2}=4×9=36.$
(2)$(ab)^{3}=a^{3}b^{3}.$
(3)当n为正整数时,$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$
理由如下:
当n为正整数时,
$(ab)^{n}=\underbrace{(ab)\cdot (ab)\cdot \cdots \cdot (ab)}_{n个}=\underbrace{(a\cdot a\cdot \cdots \cdot a)}_{n个}\cdot \underbrace{(b\cdot b\cdot \cdots \cdot b)}_{n个}=a^{n}b^{n}.$
即当n为正整数时,$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$
(4)$(-4)^{2024}×0.25^{2025}=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0.25=(-4×0.25)^{2024}×0.25=1×0.25=0.25.$

8. 远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”. 如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的天数,由图可知,孩子自出生后的天数是466.

答案： 8.466
【解析】$1×7^{3}+2×7^{2}+3×7+4=466$(天),即孩子自出生后的天数是466.故答案为466.